ポントリャーギンの最大原理

ポントリャーギンの最大原理は、最適制御理論において、特に状態制御や入力制御に制約がある場合に、動的システムをある状態から別の状態へ移行させるための最良の制御を見つけるために用いられる。この原理によれば、最適な状態軌道とともに、あらゆる最適制御は、いわゆるハミルトン系（2点境界値問題）と制御ハミルトニアンの最大条件を解く必要がある。^{[ a ]}これらの必要条件は、目的関数と制約関数に関する特定の凸性条件の下で十分条件となる。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

最大原理は、1956 年にロシアの数学者レフ・ポントリャーギンとその弟子たちによって定式化され、^{[ 3 ] [ 4 ]}その最初の応用はロケットの終端速度の最大化であった。^{[ 5 ]}この結果は、古典的な変分法の考え方を用いて導出された。^{[ 6 ]}最適制御にわずかな摂動を加えた後、摂動に関するテイラー展開の一次項を考える。摂動をゼロにすると、最大原理が導かれる変分不等式が得られる。 ^{[ 7 ]}

最適制御理論における画期的な成果として広く認識されている最大原理の重要性は、ハミルトニアンの最大化が元の無限次元制御問題よりもはるかに容易であるという事実にあります。関数空間全体で最大化するのではなく、問題は点ごとの最適化に変換されます。^{[ 8 ]}同様の論理は、最適軌道が時間の中間点でも最適のままであると述べる、最適制御問題に関連するアプローチであるベルマンの最適性原理につながります。 ^{[ 9 ]}結果として得られるハミルトン-ヤコビ-ベルマン方程式は最適の必要十分条件を提供し、確率的最適制御問題への直接的な拡張を許容しますが、最大原理はそうではありません。^{[ 7 ]} しかし、有効であるためには状態空間全体で成り立つ必要があるハミルトン-ヤコビ-ベルマン方程式とは対照的に、ポントリャーギンの最大原理は、それが指定する条件が特定の軌道でのみ成り立つ必要があるため、計算効率が潜在的に高くなります。

セットの場合${\displaystyle {\mathcal {U}}}$および機能

${\displaystyle \Psi$ :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } 、

${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$、

${\displaystyle L:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\to \mathbb {R} }$、

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\to \mathbb {R} ^{n}}$、

私たちは以下の表記法を用います。

${\displaystyle \Psi _{T}(x(T))=\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial T}}\right|_{x=x(T)}\,}$、

${\displaystyle \Psi _{x}(x(T))={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x(T)}&\cdots &\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x(T)}\end{bmatrix}}}$、

${\displaystyle H_{x}(x^{*},u^{*},\lambda ^{*},t)={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}\end{bmatrix}}}$、

${\displaystyle L_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial L}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}$、

${\displaystyle f_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left.{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\ldots &\left.{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}$。

ここでは、関数を最小化するために必要な条件を示します。

状態変数を持つn次元力学系を考える${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$、および制御変数${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$、 どこ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$は許容制御の集合である。システムの進化は、微分方程式に従って、状態と制御によって決定される。${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u)}$システムの初期状態を次のようにする。${\displaystyle x_{0}}$そして、システムの進化を一定期間にわたって値で制御する。${\displaystyle t\in [0,T]}$後者は、次の微分方程式によって決定される。

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u),\quad x(0)=x_{0},\quad u(t)\in {\mathcal {U}},\quad t\in [0,T]}$

制御軌道${\displaystyle u:[0,T]\to {\mathcal {U}}}$目的に応じて選択する必要がある。目的は機能的なものである。${\displaystyle J}$定義される

${\displaystyle J=\Psi (x(T))+\int _{0}^{T}L{\big (}x(t),u(t){\big )}\,dt}$、

どこ${\displaystyle L(x,u)}$制御を行使するためのコスト率として解釈できる${\displaystyle u}$州内${\displaystyle x}$、 そして${\displaystyle \Psi (x)}$州にたどり着くためのコストと解釈できる${\displaystyle x}$具体的な選択${\displaystyle L,\Psi }$アプリケーションによって異なります。

システムダイナミクスに対する制約はラグランジアンに付加することができる。${\displaystyle L}$時間変動ラグランジュ乗数ベクトルを導入することにより${\displaystyle \lambda }$その要素はシステムの共状態と呼ばれる。これがハミルトニアンの構築を促す。${\displaystyle H}$すべての${\displaystyle t\in [0,T]}$による：

${\displaystyle H{\big (}x(t),u(t),\lambda (t),t{\big )}=\lambda ^{\rm {T}}(t)\cdot f{\big (}x(t),u(t){\big )}+L{\big (}x(t),u(t){\big )}}$

どこ${\displaystyle \lambda ^{\rm {T}}}$は の転置です${\displaystyle \lambda }$。

ポントリャーギンの最小原理によれば、最適な状態軌道は${\displaystyle x^{*}}$最適制御${\displaystyle u^{*}}$、および対応するラグランジュ乗数ベクトル${\displaystyle \lambda ^{*}}$ハミルトニアンを最小化する必要がある${\displaystyle H}$となることによって

永遠に${\displaystyle t\in [0,T]}$そして、すべての許容される制御入力に対して${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$ここで、ラグランジュ乗数ベクトルの軌跡は${\displaystyle \lambda }$共状態方程式の解は次のとおりです。

境界条件は最終状態に依存する${\displaystyle x(T)}$そして最後の時間${\displaystyle T}$固定されています。これらの条件は、機能がどのように機能するかを調べることによって見つかります。${\displaystyle J}$（異なる）変化する${\displaystyle x(T)}$そして${\displaystyle T}$（微分的に）変化する。最終状態と時間が互いに独立していると仮定すると、${\displaystyle x(T)}$固定されていない結果、

そして${\displaystyle T}$固定されていない結果、

（1）～（4）の4つの条件は、最適制御に必要な条件である。

• バナッハ空間上のラグランジュ乗数、変分法におけるラグランジュ法

• Geering, HP (2007).最適制御とその工学的応用. Springer. ISBN 978-3-540-69437-3。
• カーク、DE（1970）。最適制御理論入門。プレンティスホール。ISBN 0-486-43484-2。
• Lee, EB; Markus, L. (1967).最適制御理論の基礎. ニューヨーク: Wiley.
• セイエルスタッド、アトレ；シドセーター、クヌート（1987）。最適制御理論とその経済学への応用。アムステルダム：ノースホランド。ISBN 0-444-87923-4。

• 「ポントリャーギンの最大値原理」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]