多項式変換

数学において、多項式変換とは、多項式の根の与えられた関数を根とする多項式を計算することです。 チルンハウス変換などの多項式変換は、代数方程式の解を簡略化するためによく使用されます。

させて

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$

多項式であり、

${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$

複雑な語源（必ずしも区別できるわけではない）である。

任意の定数cに対して、根が

${\displaystyle \alpha _{1}+c,\ldots ,\alpha _{n}+c}$

は

${\displaystyle Q(y)=P(yc)=a_{0}(yc)^{n}+a_{1}(yc)^{n-1}+\cdots +a_{n}.}$

Pの係数が整数で定数が有理数の場合、 Qの係数は整数ではない可能性がありますが、多項式c ⁿ Q は整数係数を持ち、 Qと同じ根を持ちます。 ${\displaystyle c={\frac {p}{q}}}$

特別なケースとして、結果として得られる多項式Qにはy ^{n − 1 の}項が含まれません。 ${\displaystyle c={\frac {a_{1}}{na_{0}}}.}$

させて

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$

多項式である。Pの根の逆数を根とする多項式はその逆多項式である。

${\displaystyle Q(y)=y^{n}P\left({\frac {1}{y}}\right)=a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_{0}.}$

させて

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$

は多項式、cは非ゼロの定数である。Pの根のc倍である多項式は

${\displaystyle Q(y)=c^{n}P\left({\frac {y}{c}}\right)=a_{0}y^{n}+a_{1}cy^{n-1}+\cdots +a_{n}c^{n}.}$

ここで係数c ^{n が}登場するのは、cとPの係数が整数であるか、何らかの整数領域に属している場合、 Qの係数についても同じことが当てはまるためです。

の特殊なケースでは、 Qのすべての係数はcの倍数であり、 は単項多項式であり、その係数はcとPの係数を含む任意の整域に属します。この多項式変換は、代数的数に関する質問を代数的整数に関する質問に簡約するためによく使用されます。 ${\displaystyle c=a_{0}}$${\displaystyle {\frac {Q}{c}}}$

これを による根の変換と組み合わせると、根を求めるなどの多項式の根に関するあらゆる問題を、単項で次数n − 1の項を持たないより単純な多項式に関する同様の問題に簡約することができます。この例については、3次関数 § 低下した3次関数への簡約または4次関数 § 低下した4次関数への変換を参照してください。 ${\displaystyle {\frac {a_{1}}{na_{0}}}}$

これまでの例はすべて有理関数による多項式変換であり、チルンハウス変換とも呼ばれます。

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$

有理関数で、gとh は互いに素な多項式です。多項式Pのfによる多項式変換は、根がPの根のfによる像である多項式Q (非ゼロの定数による積まで定義されます) です。

このような多項式変換は、結果として計算される。実際、目的の多項式Qの根は、同時に存在する複素数 xが存在するような複素数 y である（P 、 g 、 hの係数が実数でも複素数でもない場合は、「複素数」を「入力多項式の係数を含む代数的に閉じた体の元」に置き換える必要がある）。

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)&=0\\y\,h(x)-g(x)&=0\,.\end{aligned}}}$

これはまさに結果の決定的な性質である

${\displaystyle \operatorname {Res} _{x}(y\,h(x)-g(x),P(x)).}$

これを手作業で計算するのは一般に困難です。ただし、ほとんどのコンピュータ代数システムには結果を計算する関数が組み込まれているため、コンピュータで計算するのは簡単です。

多項式Pが既約 である場合、結果として得られる多項式Q は既約であるか、既約多項式のべき乗です。 をPの根とし、によって生成される体拡大L を考えます。前者の場合、 はLの原始元であり、その最小多項式はQです。後者の場合、はLの部分体に属し、その最小多項式はQ をべき乗とする既約多項式です。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle f(\alpha )}$${\displaystyle f(\alpha )}$

多項式変換は、可能な場合は根号によって解く多項式方程式の簡略化に適用されてきました。デカルトは、根の変換によって次数d − 1の項を削除する、次数dの多項式の変換を導入しました。このような多項式は、凹型と呼ばれます。これは、平方根によって 2 次方程式を解くのに十分です。3 次方程式の場合、チルンハウス変換は変数を 2 次関数に置き換えて 2 つの項を削除できるようにし、凹型 3 次方程式の線形項を削除して、平方根と 3 次根の組み合わせによって 3 次方程式を解くために使用できます。変数に関して 4 次である Bring–Jerrard 変換は、5 次方程式を次数 5、1、および 0 の項を持つ Bring–Jerrard 標準形に変換します。

• チルンハウス変換
• アダムチック変換

• Adamchik, Victor S.; Jeffrey, David J. (2003). 「Tschirnhaus、Bring、Jerrard の多項式変換」(PDF)。SIGSAM Bull . 37 (3): 90–94. Zbl 1055.65063. 2009-02-26 に オリジナル(PDF)からアーカイブ。