プラグフローリアクターモデル

プラグフローリアクターモデル( PFR、連続管状リアクター、CTR、またはピストンフローリアクターと呼ばれることもあります) は、円筒形状の連続した流動システムにおける化学反応を説明するために使用されるモデルです。 PFR モデルは、そのような設計の化学リアクターの動作を予測するために使用され、これにより、リアクターの寸法などの主要なリアクター変数を推定できます。

PFR を通過する流体は、リアクター内を流れる一連の無限に薄い一貫性のある「プラグ」としてモデル化できます。各プラグは均一な組成を持ち、リアクターの軸方向に移動し、各プラグは前後のプラグとは組成が異なります。重要な前提は、プラグが PFR を通過する際、流体は半径方向には完全に混合されますが、軸方向 (前方または後方) には完全に混合されないことです。異なる体積の各プラグは、独立したエンティティ、つまり実質的には無限に小さい連続撹拌タンクリアクターと見なされ、体積はゼロに制限されます。プラグが管状の PFR を流れ落ちる際、プラグの滞留時間( ) は、リアクター内の位置の関数です。したがって、理想的な PFR では、滞留時間分布は に等しい値を持つディラックのデルタ関数です。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau}$

定常 PFR は常微分方程式によって支配され、適切な境界条件がわかっていればその解を計算することができます。

PFR モデルは、液体、ガス、スラリーなど、多くの流体に適しています。実際の反応器では、乱流と軸方向拡散に​​よって軸方向にある程度混合が発生しますが、これらの影響が無視できるほど小さい場合、PFR モデルが適しています。

PFR モデルの最も単純なケースでは、問題を単純化するためにいくつかの重要な仮定を行う必要があります。そのうちのいくつかを以下に概説します。これらの仮定がすべて必要なわけではありませんが、これらの仮定を削除すると、問題の複雑さが増すことに注意してください。PFR モデルは、複数の反応や、流れの温度、圧力、密度の変化を伴う反応をモデル化するために使用できます。これらの複雑さは以下では無視されますが、多くの場合、産業プロセスに関連しています。

前提:

• プラグフロー
• 定常状態
• 一定の密度（一部の液体では妥当だが、重合では 20% の誤差がある。圧力降下がなく、モル数の正味の変化がなく、大きな温度変化がない場合にのみ気体に対して有効）
• 流体の大部分で（均一に）発生する単一の反応。

軸方向の長さがdxである種iの流体要素またはプラグの差分体積の物質収支は、xとx + dxの間で次のようになります。

[蓄積] = [入力] - [出力] + [生成] - [消費]

定常状態では蓄積は 0 です。したがって、上記の質量バランスは次のように書き直すことができます。

1. . ^[1]${\displaystyle F_{i}(x)-F_{i}(x+dx)+A_{t}dx\nu _{i}r=0}$

どこ：

• xは反応管の軸方向の位置、m
• dx流体プラグの厚さ差
• インデックスiは種iを参照します
• F _i (x)は位置xにおける種iのモル流量、mol/s
• Dはチューブの直径、m
• A _tはチューブの横断面積、m ²
• νは化学量論係数であり、無次元である。
• r は体積ソース/シンク項（反応速度）、mol/m ³ s です。

流れの線速度u (m/s) と種iの濃度C _i (mol/m ³ ) は次のように表すことができます。

${\displaystyle u={\frac {\dot {v}}{A_{t}}}={\frac {4{\dot {v}}}{\pi D^{2}}}}$ そして ${\displaystyle F_{i}=A_{t}uC_{i}\,}$

ここで体積流量です。 ${\displaystyle {\dot {v}}}$

上記を式1に適用すると、 iの質量バランスは次のようになります。

2. . ^[1]${\displaystyle A_{t}u[C_{i}(x)-C_{i}(x+dx)]+A_{t}dx\nu _{i}r=0\,}$

類似項をキャンセルし、限界dx → 0を式2に適用すると、種iの質量バランスは次のようになります。

3. 、^[1]${\displaystyle u{\frac {dC_{i}}{dx}}=\nu _{i}r}$

反応速度rの温度依存性は、アレニウスの式を使用して推定できます。一般に、温度が上昇すると、反応速度も上昇します。滞留時間 は、個別の量の試薬がタンク内で費やす平均時間です。 ${\displaystyle \tau}$

仮定する：

• 等温条件、または一定温度（k は一定）
• 単一の不可逆反応（ν _A = -1）
• 一次反応(r = k C _A )

上記の仮定を使用して式3を積分し、C _A (x)を解くと、位置の関数として 種Aの濃度を表す明示的な式が得られます。

4. 、 ${\displaystyle C_{A}(x)=C_{A0}e^{-k\tau }\,}$

ここで、C _{A0 は}積分境界条件から得られる、反応器の入口における 種Aの濃度です。

PFR は、「パイプ」に似たシステムで輸送される化合物の化学変化をモデル化するために使用されます。「パイプ」は、液体やガスが流れるさまざまな人工または自然の導管を表すことができます。(例: 川、パイプライン、2 つの山の間の地域など)

理想的なプラグフロー反応器の滞留時間は固定されています。つまり、時間に反応器に入る流体（プラグ）は、時間に反応器から出ます。ここで、 は反応器の滞留時間です。したがって、滞留時間分布関数は、におけるディラックのデルタ関数です。実際のプラグフロー反応器の滞留時間分布は、平均滞留時間分布の周りの狭いパルスです。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle t+\tau }$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau}$

典型的なプラグフロー反応器は、何らかの固体物質（多くの場合、触媒）が詰め込まれたチューブです。通常、このタイプの反応器は、パックドベッド反応器または PBR と呼ばれます。チューブは、シェルアンドチューブ熱交換器内のチューブである場合もあります。

プラグフローモデルが適用できない場合は、通常、分散モデルが採用されます。^{[2] [3]}

反応器の滞留時間分布（RTD）は、化学反応器内で起こる混合の特性です。プラグフロー反応器では軸方向の混合は行われず、この省略がこのクラスの反応器で示されるRTDに反映されています。^[4]

実際のプラグフロー反応器は理想的な流れパターンを満たしません。逆混合流またはプラグフローの理想的な動作からの逸脱は、容器を通る流体のチャネリング、容器内での流体のリサイクル、または容器内の流体の停滞領域またはデッドゾーンの存在が原因である可能性があります。^[5]非理想的な動作をする実際のプラグフロー反応器もモデル化されています。^[6]化学反応器としての容器の正確な動作を予測するために、RTDまたは刺激応答技術が使用されます。軸方向の分散の研究に最も広く使用されている方法であるトレーサー技術は、通常、次の形式で使用されます。^[7]

• パルス入力
• ステップ入力
• 循環入力
• ランダム入力

RTDは、トレーサーと呼ばれる不活性化学物質、分子、または原子をある時間t = 0に反応器に注入し、その後、時間の関数として排出ストリーム中のトレーサー濃度Cを測定することによって実験的に決定されます。^[4]

容器から流出する流体の RTD 曲線は E 曲線と呼ばれます。この曲線は、その下の面積が 1 になるように正規化されます。

（１）

${\displaystyle \int E\partial t=1}$

出口ストリームの平均年齢または平均滞留時間は次のとおりです。

（２）

${\displaystyle \tau =\int tE\partial t=\sum tE\nabla t}$

トレーサーが入口から粒子径の2～3倍以上下流の位置で反応器に注入され、出口から上流のある距離で測定される場合、システムはオープン境界条件またはクローズ境界条件を組み合わせた分散モデルによって記述できます。^[3]トレーサー注入点またはトレーサー測定点で流れのタイプに不連続性がないこのようなシステムの場合、オープン-オープンシステムの分散は次のようになります。

（３）

${\displaystyle (\sigma _{\theta })^{2}=(\sigma _{t})^{2}/\tau ^{2}=2/P_{e}+8/(P_{e})^{2}}$

どこ、

（4）

${\displaystyle P_{e}=LU/D_{L}}$

これは、対流による輸送速度と拡散または分散による輸送速度の比を表します。

${\displaystyle L}$= 特性長さ (m)

${\displaystyle D_{L}}$= 有効拡散係数 ( m ² /s)

${\displaystyle U}$= 空の断面積に基づく表面速度（m/s）

容器分散数は次のように定義されます。

${\displaystyle 1/P_{e}=D_{L}/LU}$

有限個の等距離の位置で測定された連続分布の分散は次のように表され ます。

（５）

${\displaystyle (\sigma _{t})^{2}=\sum t_{i}^{2}C_{i}/\sum C_{i}-\sum [t_{i}C_{i}/\sum C_{i}]^{2}}$

ここで平均滞留時間τ​​は次のように表される。

（6）

${\displaystyle \tau =\sum t_{i}C_{i}/\sum C_{i}}$

（７）

${\displaystyle (\sigma _{\theta })^{2}=(\sigma _{t})^{2}/\tau ^{2}}$

したがって、(σ _θ ) ^{2 は}C 対 t の実験データから評価でき、の値がわかっている場合、分散数は式 (3) から次のように得られます。 ${\displaystyle (\sigma _{\theta })^{2}}$${\displaystyle (1/P_{e})}$

（８）

${\displaystyle D_{L}/LU={-1+{\sqrt {1+8(\sigma _{\theta })^{2}}} \over 8}}$

したがって軸方向拡散係数D _Lは推定できる（L = 充填高さ）^[5]

前述したように、分散モデルに適用できる他の境界条件もあり、分散数に異なる関係を与える。^{[8] [9] [3]}

利点

安全技術的な観点から見ると、PFRには次のような利点がある^[10]

1. 安定した状態で動作する
2. 制御しやすい
3. 大きな熱伝達エリアを設置可能

懸念事項

主な問題は、始動と停止の操作が困難で、時には重大なものになることにあります。^[10]

プラグフローリアクターは、次のような用途に使用されます。

• 大規模生産
• 素早い反応
• 均一反応または不均一反応
• 連続生産
• 高温反応