ステップ関数

数学において、実数上の関数が区間の指示関数の有限個の線形結合として表せる場合、その関数は階段関数と呼ばれる。非公式に言えば、階段関数とは、有限個の部分しか持たない区分的定数関数である。

関数${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$は、次のように書ける場合、階段関数と呼ばれます。

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)}$すべての実数に対して${\displaystyle x}$

どこ${\displaystyle n\geq 0}$、$\displaystyle \alpha _{i}}$実数です。${\displaystyle A_{i}}$は間隔であり、$\displaystyle \chi _{A_{i}}}$は、​${\displaystyle A_{i}}$:

${\displaystyle \chi _{A_{i}}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A_{i}\\0&{\text{if }}x\notin A_{i}\\\end{cases}}}$

この定義では、区間は${\displaystyle A_{i}}$以下の2つの特性を持つと想定できる。

1. 区間は互いに素である。${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$のために${\displaystyle i\neq j}$
2. これらの区間の和集合は実数直線全体である。${\displaystyle \bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .}$

実際、最初からそうでない場合でも、これらの仮定が成り立つ別の区間セットを選択できます。たとえば、ステップ関数

${\displaystyle f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}}$

次のように書くことができます

${\displaystyle f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}.}$

• 定数関数は階段関数の自明な例です。その場合、区間は 1 つだけです。${\displaystyle A_{0}=\mathbb {R} .}$
• 符号関数sgn( x )は、負の数に対しては −1、正の数に対しては +1 であり、最も単純な非定数ステップ関数です。
• 負の数に対して 0、正の数に対して 1 となるヘヴィサイド関数H ( x )は、シフトと範囲のスケールを除いて、符号関数と等価です (${\displaystyle H=(\operatorname {sgn} +1)/2}$これは、動的システムのステップ応答を決定するために使用されるものなど、一部のテスト信号の背後にある数学的概念です。

• 矩形関数、すなわち正規化ボックスカー関数は、単位パルスをモデル化するために使用されます。

• 2つの階段関数の和と積は、再び階段関数となる。階段関数と数値の積もまた階段関数となる。このように、階段関数は実数上の代数を構成する。
• ステップ関数は有限個の値しか取りません。区間が${\displaystyle A_{i},}$のために${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$上記のステップ関数の定義において、それらは互いに素であり、それらの和集合は実数直線である。${\displaystyle f(x)=\alpha _{i}}$すべての人々のために${\displaystyle x\in A_{i}.}$
• 階段関数の定積分は区分的線形関数である。
• 階段関数のルベーグ積分${\displaystyle \textstyle f=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}$は${\displaystyle \textstyle \int f\,dx=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}),}$どこ${\displaystyle \ell (A)}$区間の長さ${\displaystyle A}$、そしてここではすべての区間が${\displaystyle A_{i}}$有限の長さを持つ。実際、この等式（定義として見た場合）は、ルベーグ積分を構成する最初のステップになり得る。^{[ 7 ]}
• 離散確率変数は、累積分布関数が区分的に一定である確率変数として定義されることがあります。 ^{[ 8 ]}この場合、それは局所的に階段関数になります（全体的には、無限個の階段を持つ可能性があります）。しかし通常、可算個の値しか持たない確率変数は離散確率変数と呼ばれ、この場合、有限領域に無限個の区間が蓄積される可能性があるため、その累積分布関数は必ずしも局所的に階段関数になるとは限りません。

• 鋸歯の機能
• 区分的に
• シグモイド関数
• シンプルな機能
• ステップ検出
• ヘヴィサイド階段関数
• 区分的に一定の評価