位相相関

位相相関は、2 つの類似した画像(デジタル画像相関) またはその他のデータ セット間の相対的な移動オフセットを推定する手法です。これは画像登録でよく使用され、通常は高速フーリエ変換によって計算されるデータの周波数領域表現に依存します。この用語は、特に、相互相関図のフーリエ空間表現から位相情報を分離する相互相関手法のサブセットに適用されます。

次の画像は、位相相関を使用して、独立したガウス ノイズによって破損した 2 つの画像間の相対的な平行移動を決定する方法を示しています。画像は (30,33) ピクセル平行移動されました。したがって、位相相関表現のピークがおよそ (30,33) にあることがはっきりとわかります。

2つの入力画像とが与えられた場合: ${\displaystyle \g_{a}}$${\displaystyle \g_{b}}$

両方の画像にウィンドウ関数（ハミングウィンドウなど）を適用して、エッジ効果を軽減します（画像の特性によってはオプションになる場合があります）。次に、両方の画像の離散 2Dフーリエ変換を計算します。

${\displaystyle \ \mathbf {G} _{a}={\mathcal {F}}\{g_{a}\},\;\mathbf {G} _{b}={\mathcal {F}}\{g_{b}\}}$

2 番目の結果の複素共役を取り、フーリエ変換を要素ごとに乗算し、この積を要素ごとに正規化して、 クロスパワー スペクトルを計算します。

${\displaystyle \ R={\frac {\mathbf {G} _{a}\circ \mathbf {G} _{b}^{*}}{|\mathbf {G} _{a}\circ \mathbf {G} _{b}^{*}|}}}$

はアダマール積（エントリごとの積）であり、絶対値もエントリごとに取得されます。要素インデックスについてエントリごとに書き出すと次のようになります。 ${\displaystyle \circ }$${\displaystyle (j,k)}$

${\displaystyle \ R_{jk}={\frac {G_{a,jk}\cdot G_{b,jk}^{*}}{|G_{a,jk}\cdot G_{b,jk}^{*}|}}}$

逆フーリエ変換を適用して正規化された相互相関を取得します。

${\displaystyle \ r={\mathcal {F}}^{-1}\{R\}}$

のピークの位置を決定します。 ${\displaystyle \ r}$

${\displaystyle \ (\Delta x,\Delta y)=\arg \max _{(x,y)}\{r\}}$

一般的に、データが離散的であるにもかかわらず、補間法はクロスコレログラムのピーク位置を非整数値に推定するのに使用され、この手順はしばしば「サブピクセル登録」と呼ばれます。技術文献には、さまざまなサブピクセル補間法が記載されています。放物線補間などの一般的なピーク補間法が使用されており、 OpenCVコンピューター ビジョン パッケージでは重心ベースの方法が使用されますが、これらは一般に、より洗練された方法と比較すると精度が劣ります。

データのフーリエ表現はすでに計算されているため、この目的には実数値（サブ整数）シフトを伴うフーリエシフト定理を使用すると特に便利です。これは基本的に、フーリエ変換の正弦基底関数を使用して補間します。特に人気のある FT ベースの推定量は、Forooshらによって提供されています。^[1]この方法では、サブピクセルのピーク位置は、ピークピクセル値とその最も近い近傍の値を含む簡単な式で近似されます。ここで、はピーク値、 はx 方向の最も近い近傍です（ほとんどのアプローチと同様に、整数シフトがすでに求められており、比較対象イメージはサブピクセルシフトのみで異なると仮定します）。 ${\displaystyle r_{(0,0)}}$${\displaystyle r_{(1,0)}}$

${\displaystyle \ \Delta x={\frac {r_{(1,0)}}{r_{(1,0)}\pm r_{(0,0)}}}}$^{[説明が必要]}

Forooshらの方法は、他の方法に比べてかなり高速ですが、常に最も正確というわけではありません。いくつかの方法は、フーリエ空間でピークをシフトし、非線形最適化を適用して相関図のピークを最大化しますが、逆フーリエ変換またはそれに相当するものを目的関数に適用する必要があるため、非常に遅くなる傾向があります。^[2]

ストーンが指摘したように、逆変換を行わずにフーリエ空間の位相特性からピーク位置を推測することも可能です。^[3]これらの方法では通常、平面モデルに対する位相角の線形最小二乗法(LLS) 近似を使用します。これらの方法では位相角の計算に長い時間がかかるのが欠点ですが、画像サイズによっては Forooshらの方法と速度が匹敵する場合があります。これらの方法は、反復非線形法で非常に遅い目的関数を複数回反復するよりも速度面で優れていることがよくあります。

すべてのサブピクセル シフト計算方法は基本的に補間的であるため、特定の方法のパフォーマンスは、基礎となるデータが補間器の仮定にどの程度適合しているかによって決まります。この事実は、補間方法の選択による不確実性が特定の方法の数値誤差または近似誤差よりも大きくなる可能性があるため、アルゴリズムにおける高い数値精度の有用性を制限する可能性もあります。

サブピクセル方式は画像内のノイズにも特に敏感であり、特定のアルゴリズムの有用性は、その速度と精度だけでなく、アプリケーション内の特定の種類のノイズに対する耐性によっても区別されます。

この方法はフーリエシフト定理に基づいています。

2 つの画像とを、互いに円状にシフトしたバージョンとします。 ${\displaystyle \ g_{a}}$${\displaystyle \ g_{b}}$

${\displaystyle \ g_{b}(x,y)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ g_{a}((x-\Delta x){\bmod {M}},(y-\Delta y){\bmod {N}})}$

（画像のサイズはここ）。 ${\displaystyle \ M\times N}$

すると、画像の離散フーリエ変換は位相が相対的にシフトされます。

${\displaystyle \mathbf {G} _{b}(u,v)=\mathbf {G} _{a}(u,v)e^{-2\pi i({\frac {u\Delta x}{M}}+{\frac {v\Delta y}{N}})}}$

次に、正規化されたクロスパワースペクトルを計算して位相差を除外します。

${\displaystyle {\begin{aligned}R(u,v)&={\frac {\mathbf {G} _{a}\mathbf {G} _{b}^{*}}{|\mathbf {G} _{a}\mathbf {G} _{b}^{*}|}}\\&={\frac {\mathbf {G} _{a}\mathbf {G} _{a}^{*}e^{2\pi i({\frac {u\Delta x}{M}}+{\frac {v\Delta y}{N}})}}{|\mathbf {G} _{a}\mathbf {G} _{a}^{*}e^{2\pi i({\frac {u\Delta x}{M}}+{\frac {v\Delta y}{N}})}|}}\\&={\frac {\mathbf {G} _{a}\mathbf {G} _{a}^{*}e^{2\pi i({\frac {u\Delta x}{M}}+{\frac {v\Delta y}{N}})}}{|\mathbf {G} _{a}\mathbf {G} _{a}^{*}|}}\\&=e^{2\pi i({\frac {u\Delta x}{M}}+{\frac {v\Delta y}{N}})}\end{aligned}}}$

虚数指数の大きさは常に 1 であり、位相は常に 0 であるためです。 ${\displaystyle \ \mathbf {G} _{a}\mathbf {G} _{a}^{*}}$

複素指数関数の逆フーリエ変換はディラックのデルタ関数、つまり単一のピークです。

${\displaystyle \ r(x,y)=\delta (x+\Delta x,y+\Delta y)}$

この結果は、相互相関を直接計算することによっても得られます。この方法の利点は、離散フーリエ変換とその逆変換を高速フーリエ変換を使用して実行できることです。これは、大きな画像の場合、相関よりもはるかに高速です。

多くの空間領域アルゴリズムとは異なり、位相相関法は医療画像や衛星画像に特有のノイズ、遮蔽、その他の欠陥に対して耐性があります。^[4]

この方法は、まず画像を対数極座標に変換することで、2つの画像間の回転とスケーリングの差を決定するように拡張できます。フーリエ変換の特性により、回転とスケーリングのパラメータは、平行移動に対して不変な方法で決定できます。^{[5] [6]}

実際には、は上記の説明で要求されている円シフトではなく、の単純な線形シフトになる可能性が高いです。そのような場合、は単純なデルタ関数ではないため、この方法のパフォーマンスが低下します。そのような場合、エッジ効果を減らすためにフーリエ変換中にウィンドウ関数（ガウスウィンドウやテューキーウィンドウなど）を使用するか、エッジ効果を無視できるように画像をゼロパディングする必要があります。画像が平坦な背景で構成され、すべての詳細がエッジから離れた位置にある場合、線形シフトは円シフトに等しく、上記の導出が正確に当てはまります。ピークは、エッジまたはベクトル相関を使用してシャープにすることができます。^[7]${\displaystyle \ g_{b}}$${\displaystyle \ g_{a}}$${\displaystyle \ r}$

周期的な画像（チェス盤やピケットフェンスなど） の場合、位相相関によって、結果の出力に複数のピークが現れるあいまいな結果が生じることがあります。

位相相関は、アーティファクトが最も少なくなるため、 テレビ規格の変換に適した方法です。

一般的な

• 相互相関
• スケール相関
• 位相回復

テレビ

• テレビ規格変換
• 逆標準変換

• Matlab を使用して画像の正規化された相互相関を実行する