位相回復

誤差削減は、ゲルヒベルク・サクストンアルゴリズムの一般化である。これは、${\displaystyle f(x)}$測定値から${\displaystyle |F(u)|}$4つのステップのプロセスを繰り返すことによって。 ${\displaystyle k}$第 2 回目の反復では、以下の手順を実行します。

ステップ（１）：${\displaystyle G_{k}(u)}$、${\displaystyle \phi _{k}}$、 そして ${\displaystyle g_{k}(x)}$それぞれ、${\displaystyle F(u)}$、${\displaystyle \psi }$そして${\displaystyle f(x)}$最初のステップでは、フーリエ変換を計算します。${\displaystyle g_{k}(x)}$:

${\displaystyle G_{k}(u)=|G_{k}(u)|e^{i\phi _{k}(u)}={\mathcal {F}}(g_{k}(x)).}$

ステップ（２）：実験値${\displaystyle |F(u)|}$信号方程式を介して回折パターンから計算された は、 に代入される。${\displaystyle |G_{k}(u)|}$フーリエ変換の推定値を示す：

${\displaystyle G'_{k}(u)=|F(u)|e^{i\phi _{k}(u)},}$

ここで「'」は、後で破棄される中間結果を表します。

ステップ（3）：フーリエ変換の推定${\displaystyle G'_{k}(u)}$次に、逆フーリエ変換を行う。

${\displaystyle g'_{k}(x)=|g'_{k}(x)|e^{i\theta '_{k}(x)}={\mathcal {F}}^{-1}(G'_{k}(u)).}$

ステップ（4）： ${\displaystyle g'_{k}(x)}$すると、オブジェクトの新しい推定値に変更され、${\displaystyle g_{k+1}(x)}$オブジェクトの制約を満たします。${\displaystyle g_{k+1}(x)}$したがって、は区分的に次のように定義されます。

${\displaystyle g_{k+1}(x)\equiv {\begin{cases}g'_{k}(x),&x\notin \gamma ,\\0,&x\in \gamma ,\end{cases}}}$

どこ${\displaystyle \gamma }$は、${\displaystyle g'_{k}(x)}$オブジェクトの制約を満たしていません。新しい推定値${\displaystyle g_{k+1}(x)}$が得られ、4段階のプロセスが繰り返される。

このプロセスは、フーリエ制約とオブジェクト制約の両方が満たされるまで続けられます。理論的には、このプロセスは常に収束につながり^{[ 1 ]}ますが、満足のいく画像を生成するために必要な反復回数が非常に多いため（一般的に2000回以上）、エラー削減アルゴリズム単独では実用的なアプリケーションには適していません。

ハイブリッド入出​​力アルゴリズムは、エラー削減アルゴリズムの改良版であり、最初の3つのステージは同じです。しかし、${\displaystyle g_{k}(x)}$もはや推定値として機能しない${\displaystyle f(x)}$しかし、出力関数に対応する入力関数は${\displaystyle g'_{k}(x)}$これは推定値です${\displaystyle f(x)}$^{[ 1 ]} 4 番目のステップでは、関数が${\displaystyle g'_{k}(x)}$オブジェクトの制約に違反します。 ${\displaystyle g_{k+1}(x)}$関数はゼロに強制的に近づくが、最適にはゼロにはならない。ハイブリッド入出​​力アルゴリズムの主な利点は、関数が${\displaystyle g_{k}(x)}$以前の反復に関するフィードバック情報が含まれているため、停滞の可能性が低くなります。ハイブリッド入出​​力アルゴリズムは、誤差削減アルゴリズムよりも大幅に速く解に収束することが示されています。その収束速度は、ステップサイズ最適化アルゴリズムによってさらに改善できます。^{[ 2 ]}

${\displaystyle g_{k+1}(x)\equiv {\begin{cases}g'_{k}(x),&x\notin \gamma ,\\g_{k}(x)-\beta {g'_{k}(x)},&x\in \gamma .\end{cases}}}$

ここ${\displaystyle \beta }$は、0 から 1 の間の値をとることができるフィードバック パラメータです。ほとんどのアプリケーションでは、${\displaystyle \beta \approx 0.9}$最適な結果が得られる。（Scientific Reports 第8巻、論文番号：6436（2018））

2次元位相回復問題の場合、解の縮退は次のようになります。${\displaystyle f(x)}$およびそれの共役${\displaystyle f^{*}(-x)}$フーリエ振幅が同じである。これにより、「画像ツインニング」が発生し、位相回復アルゴリズムが停滞して、オブジェクトとその共役の両方の特徴を持つ画像が生成される。^{[ 3 ]}シュリンクラップ技術は、オブジェクト振幅の現在の推定値（ガウス関数との畳み込みによる）をローパスフィルタリングし、閾値を適用することによってサポートの推定値を定期的に更新し、画像の曖昧さを低減する。^{[ 4 ]}

反復位相回復法とデジタルホログラフィー法の実験的比較が行われてきました。^{[ 5 ]} Shevkunov らによる 2014 年の研究では、フレネルベース反復法 (FRIM) ^{[ 6 ]}とシングルビーム多重強度再構成法 (SBMIR) ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}という 2つの反復法が、デジタルホログラフィーによる複素波回復法 (CWR-DH) ^{[ 10 ] [ 11 ][ 12} ]とフーリエ変換法 (FT-DH) ^{[ 13 ] [ 14 ]という 2 つのホログラフィー技術と並んで評価されました。その結果、FRIM は最も低い正規化平均二乗誤差を達成しましたが、再構成画像の境界で回折アーティファクトが発生しました。一方、 CWR-DHは}そのようなアーティファクトなしで最も高いコントラストを実現しました。FT-DH は、ゼロ次とフーリエ平面でのツインイメージのフィルタリングによる情報損失のため、より暗い画像が生成されました。

離散信号が与えられた場合${\displaystyle \mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}}$これは以下からサンプリングされます${\displaystyle f(x)}$長さWのウィンドウを使用します。${\displaystyle \mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}}$STFTを計算する${\displaystyle \mathrm {f} }$、で示される${\displaystyle \mathbf {Y} }$:

${\displaystyle Y[m,r]=\sum _{n=0}^{N-1}{f[n]w[rL-n]e^{-i2\pi {\frac {mn}{N}}}}}$

のために${\displaystyle 0\leq m\leq N-1}$そして${\displaystyle 0\leq r\leq R-1}$パラメータ${\displaystyle L}$隣接する短時間セクション間の時間的間隔とパラメータを表す${\displaystyle R=\left\lceil {\frac {N+W-1}{L}}\right\rceil }$は、考慮される短時間セクションの数を表します。

STFTのもう1つの解釈（スライディングウィンドウ解釈と呼ばれる）は、離散フーリエ変換（DFT）を利用して行うことができる。${\displaystyle w_{r}[n]=w[rL-n]}$シフトおよび反転されたウィンドウから得られたウィンドウ要素を表します${\displaystyle \mathbf {w} }$すると、

${\displaystyle \mathbf {Y} =[\mathbf {Y} _{0},\mathbf {Y} _{1},...,\mathbf {Y} _{R-1}]}$、 どこ${\displaystyle \mathbf {Y} _{r}=\mathbf {x} \circ \mathbf {w} _{r}}$。

させて${\displaystyle {Z}_{w}[m,r]=|Y[m,r]|^{2}}$になる${\displaystyle N\times R}$STFTの振幅二乗に対応する測定値${\displaystyle \mathbf {x} }$、${\displaystyle \mathbf {W} _{r}}$になる${\displaystyle N\times N}$対角要素を持つ対角行列${\displaystyle \left(w_{r}[0],w_{r}[1],\ldots ,w_{r}[N-1]\right).}$STFT位相回復は次のように表すことができます。

探す${\displaystyle \mathbf {x} }$そのため${\displaystyle Z_{w}[m,r]=\left|\left\langle \mathbf {f} _{m},\mathbf {W} _{r}\mathbf {x} \right\rangle \right|^{2}}$のために${\displaystyle 0\leq m\leq N-1}$そして${\displaystyle 0\leq r\leq R-1}$、 どこ${\displaystyle \mathbf {f} _{m}}$は${\displaystyle m}$の 番目の列${\displaystyle N}$-点逆DFT行列。

直感的に、計算の複雑さは、${\displaystyle N}$この方法は実用的ではない。しかし実際には、ほとんどの場合、以下の測定値のみを考慮すればよい。${\displaystyle 0\leq m\leq M}$任意のパラメータについて${\displaystyle M}$満足${\displaystyle 2W\leq M\leq N}$。

より具体的に言うと、信号とウィンドウの両方が消滅しない場合、つまり、 ${\displaystyle x[n]\neq 0}$すべての人々のために${\displaystyle 0\leq n\leq N-1}$そして${\displaystyle w[n]\neq 0}$すべての人々のために${\displaystyle 0\leq }$${\displaystyle n\leq W-1}$信号${\displaystyle \mathbf {x} }$以下の条件が満たされている場合、STFT振幅から一意に識別できます。

1. ${\displaystyle L<W\leq N/2}$、
2. ${\displaystyle 2W\leq M\leq N}$。

その証明は、Jaganathanの研究^{[ 15 ]}に見出すことができ、STFT位相回復を次の最小二乗問題として再定式化している。

${\displaystyle \min _{\mathbf {x} }\sum _{r=0}^{R-1}\sum _{m=0}^{N-1}\left(Z_{w}[m,r]-\left|\left\langle \mathbf {f} _{m},\mathbf {W} _{r}\mathbf {x} \right\rangle \right|^{2}\right)^{2}}$。

このアルゴリズムは、理論的な回復保証はないものの、隣接する短時間区間間に大きな重複がある場合には、経験的に大域的最小値に収束することができる。

回復保証を確立するための一つの方法は、変換を用いて問題をより高次元の空間に埋め込むことにより、問題を半正定値計画問題（SDP）として定式化することです。${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\ast }}$そして、ランク1の制約を緩和して凸計画問題を得る。再定式化された問題は以下のとおりである。

得る${\displaystyle \mathbf {\hat {X}} }$解決方法：$${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {minimize} ~~~\mathrm {trace} (\mathbf {X} )\\[6pt]&\mathrm {subject~to} ~~Z[m,r]=\mathrm {trace} (\mathbf {W} _{r}^{\ast }\mathbf {f} _{m}\mathbf {f} _{m}^{\ast }\mathbf {W} _{r}\mathbf {X} )\\[0pt]&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {X} \succeq 0\end{aligned}}}$$のために${\displaystyle 1\leq m\leq M}$そして${\displaystyle 0\leq r\leq R-1}$

一度${\displaystyle \mathbf {\hat {X}} }$見つかったら、信号を復元できます${\displaystyle \mathbf {x} }$最良ランク1近似による。