ペロンの公式

数学、特に解析的数論において、ペロンの公式は、オスカー・ペロンがメリン逆変換を用いて算術関数の和を計算する公式である。

を算術関数とし、 ${\displaystyle \{a(n)\}}$

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

対応するディリクレ級数とする。ディリクレ級数がに対して一様収束すると仮定する。するとペロンの公式は次のようになる。 ${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$

${\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}'a(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+ i\infty }g(z){\frac {x^{z}}{z}}\,dz.}$

ここで、和のプライムは、xが整数のとき、和の最後の項に 1/2 を掛ける必要があることを示しています。積分は収束するルベーグ積分ではなく、コーシー主値として理解されます。この式では、c > 0、c > σ、x > 0 が必要です。

証明の簡単な概要は、アーベルの和の公式から得られる。

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx.}$

これは変数の変更によるラプラス変換に他なりません。これを反転するとペロンの公式が得られます。 ${\displaystyle x=e^{t}.}$

ディリクレ級数との一般的な関係のため、この公式は多くの数論的和によく適用される。例えば、リーマンゼータ関数の有名な積分表現は次のようになる。

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx}$

ディリクレL関数についても同様の式が成り立つ。

${\displaystyle L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

どこ

${\displaystyle A(x)=\sum _{n\leq x}\chi (n)}$

はディリクレ指標です。他の例はメルテンス関数とフォン・マンゴルト関数に関する記事に記載されています。 ${\displaystyle \chi (n)}$

ペロンの公式は、次の公式の特別なケースに過ぎない。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a(n)f(n/x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }F(s)G(s)x^{s}ds}$

どこ

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

そして

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}dx}$

メリン変換。ペロン公式はヘヴィサイドステップ関数のテスト関数の特殊なケースです。 ${\displaystyle f(1/x)=\theta (x-1),}$${\displaystyle \theta (x)}$

• アポストル、トム・M. (1976) 「解析的数論入門」、Undergraduate Texts in Mathematics、ニューヨーク・ハイデルベルク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 243 ページ 978-0-387-90163-3、MR  0434929、Zbl  0335.10001
• ワイスタイン、エリック W.「ペロンの公式」。マスワールド。
• テネンバウム、ジェラルド (1995)。解析的および確率的数論入門。ケンブリッジ高等数学研究。第 46 巻。CB トーマス訳。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-41261-7.ZBL0831.11001  。​