完全なベイズ均衡

ゲーム理論において、完全ベイジアン均衡(PBE) は、不完全な情報を伴うターン制ゲームに対するベイジアン確率による解法です。より具体的には、ベイジアン更新を使用して不完全な情報を伴う動的ゲームにおけるプレイヤーの行動を説明する均衡概念です。完全ベイジアン均衡は、プレイヤーがターンを取るものの相手の「タイプ」がわからないゲームの結果を解決するために使用されます。これは、プレイヤーが個々の動きの間での相手の好みを知らない場合に発生します。タイプを持つ動的ゲームの典型的な例は、プレイヤーが相手がリスクを負う「タカ派」タイプか平和主義的な「ハト派」タイプかわからない戦争ゲームです。完全ベイジアン均衡は、ベイジアン ナッシュ均衡(BNE)の改良版であり、ベイジアン ナッシュ均衡は、非ターン制ゲームに対するベイジアン確率による解法概念です。

完全なベイズ均衡には、戦略と信念という 2 つの要素があります。

• 特定の情報セットにおけるプレイヤーの戦略は、その情報セットにおけるアクションの選択を指定します。これは、履歴（ゲームで以前に実行されたアクション）に依存する場合があります。これは、シーケンシャル ゲームに似ています。
• プレイヤーが特定の情報セットで確信していることによって、その情報セットのどのノードにゲームが到達したと確信しているかが決まります。確信は情報セットのノードに対する確率分布である場合があり、通常は他のプレイヤーの可能なタイプに対する確率分布です。正式には、確信システムとは、ゲーム内のすべてのノードに確率を割り当て、どの情報セットでも確率の合計が 1 になるようにすることです。

戦略と信念は、以下の条件も満たす必要があります。

• 順次合理性: 信念を前提として、各戦略は期待値において最適である必要があります。
• 一貫性: 各信念は、均衡戦略、観察されたアクション、および正の確率で均衡に到達したすべてのパス上のベイズのルールに従って更新される必要があります。非均衡パスと呼ばれる確率がゼロのパスでは、信念を指定する必要がありますが、任意に指定できます。

完全なベイズ均衡は常にナッシュ均衡です。

次のゲームを考えてみましょう。

• 送信者には、「友人」（確率）または「敵」（確率）の 2 つのタイプがあります。各タイプには、贈り物を贈るか贈らないかという 2 つの戦略があります。${\displaystyle p}$${\displaystyle 1-p}$
• 受け取り手には 1 つのタイプと 2 つの戦略しかありません。贈り物を受け取るか、拒​​否するかです。
• 送信者の効用は、贈り物が受け入れられた場合は 1、贈り物が拒否された場合は -1、贈り物をしない場合は 0 になります。
• 受取人の効用は、誰が贈り物をするかによって決まります。
  • 送信者が友人の場合、受信者の効用は 1 (受け入れた場合) または 0 (拒否した場合) になります。
  • 送信者が敵である場合、受信者の効用は -1 (受け入れた場合) または 0 (拒否した場合) になります。

均衡 1の任意の値に対して、両方のタイプの送信者が同じアクションを選択する プーリング均衡が存在します。${\displaystyle p,}$

均衡1.送信者:友人タイプであろうと敵タイプであろうと を与えない。受信者:確率(友人|与えない) = pかつ確率(友人|与える) = xという信念のもと、 を受け入れず、値を選択する。${\displaystyle x\leq .5.}$

送信者は、送っても受け取られないことによる -1 の報酬よりも、贈らないことによる 0 の報酬を好みます。したがって、均衡状態では「贈る」の確率は 0 であり、ベイズの法則は信念Prob(Friend|Give)をまったく制限しません。その信念は、受信者が贈り物を拒否することによる 0 の報酬を、 受け取ることによる期待報酬よりも好むほど悲観的でなければならないため、受信者の戦略が信念を考慮して期待報酬を最大化するという要件は、 Prob(Friend|Give)を必要とします。一方、ベイズの法則では、Prob(Friend|Not give) = pが要求されます。これは、両方のタイプがそのアクションを実行し、送信者のタイプに関する情報がないためである。 ${\displaystyle x(1)+(1-x)(-1)=2x-1,}$${\displaystyle \leq .5.}$

の場合、異なる信念に基づいて、均衡 1 と同様に 2 番目のプーリング均衡が存在します。 ${\displaystyle p\geq 1/2}$

均衡2.送信者：友人タイプか敵タイプかに関わらずを与える。受信者： Prob(Friend|Give) = pかつProb(Friend|Not give) = xという信念のもと、の任意の値を選択して受け入れる。${\displaystyle x.}$

送信者は、贈り物が受け取られることを期待して、与えないことによる 0 の報酬よりも、与えることによる 1 の報酬を好みます。均衡状態では、ベイズの法則により、受信者はProb(Friend|Give) = pという信念を持つ必要があります。これは、両方のタイプがそのアクションを実行し、この均衡状態では送信者のタイプに関する情報がないためである。均衡状態から外れた信念は問題ではありません。受信者がどのような応答をしようとも、送信者は与えないことに逸脱したくないからです。

均衡 1 は、ゲームが である可能性があるため、送信者は友人である可能性が非常に高いが、受信者は敵が友人よりも贈り物をする可能性がはるかに高いと考えているため、贈り物を拒否する場合に、倒錯しています。これは、悲観的な信念が両方のプレーヤーにとって悪い均衡、つまりパレート効率的ではない均衡をもたらす可能性があることを示しています。ただし、これらの信念は非現実的であり、ゲーム理論家は、いくつかの完全なベイズ均衡を信じがたいものとして拒否することがよくあります。 ${\displaystyle p\geq .5.}$${\displaystyle p=.99,}$

存在する可能性のある均衡は均衡 1 と 2 だけですが、2 種類の送信者が異なるアクションを選択する 2 つの潜在的な分離均衡も確認し、それらが完全なベイズ均衡として存在しない理由を確認することもできます。

1. 送信者の戦略が「友人なら贈る、敵なら贈らない」であると仮定します。受信者の信念はそれに応じて更新されます。贈り物を受け取った場合、受信者は送信者が友人であると信じ、そうでない場合は送信者が敵であると信じます。したがって、受信者はAcceptで応答します。ただし、受信者がAccept を選択した場合、敵の送信者はGiveに逸脱して  、自分の報酬を 0 から 1 に増やすため、これは均衡にはなりません。
2. 送信者の戦略が「友人には贈らない、敵には 贈る」であるとします。受信者の信念はそれに応じて更新されます。贈り物を受け取った場合、受信者は送信者が敵であると信じ、そうでない場合は送信者が友人であると信じます。受信者の最善の対応戦略は「拒否」です。ただし、 受信者が「拒否」を選択した場合、敵の送信者は  「贈らない」に逸脱して、自分の利益を -1 から 0 に増やすため、これは均衡ではありません。

このゲームでは分離均衡は存在しないと結論付けます。

次の例では、^[1] PBEの集合はSPEとBNEの集合よりも厳密に小さい。これは上記のギフトゲームのバリエーションであり、受信者の効用が次のように変更されている。

• 送信者が友人の場合、受信者の効用は 1 (受け入れた場合) または 0 (拒否した場合) になります。
• 送信者が敵の場合、受信者の効用は0 (受け入れた場合) または-1 (拒否した場合) になります。

このバリエーションでは、受け入れることは受信者にとって 弱い優位戦略であることに注意してください。

例 1 と同様に、分離均衡は存在しません。次の潜在的なプーリング均衡を見てみましょう。

1. 送信者の戦略は、常に与えることです。受信者の信念は更新されません。受信者は、送信者が確率 で友人であり、確率 で敵であるという事前確率を依然として信じています。受け入れることによる見返りは常に拒否することによる見返りよりも高いため、受信者は受け入れます ( の値に関係なく)。これは PBE であり、送信者と受信者の両方にとって最適な応答です。${\displaystyle p}$${\displaystyle 1-p}$${\displaystyle p}$
2. 送信者の戦略は、決して贈らないことです。受信者が贈り物を受け取るときの信念は、送信者が確率 （は内の任意の数）で友人であるというものだとします。 に関係なく、受信者の最適な戦略は、受け入れることです。これは PBE ではありません。なぜなら、送信者は贈り物をすることで報酬を 0 から 1 に上げることができるからです。${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle q}$
3. 送信者の戦略は「決して与えない」であり、受信者の戦略は「拒否する」です。受信者のいかなる信念においても、拒否することは最善の応答ではないため、これは PBE ではありません。

オプション 3 はナッシュ均衡であることに注意してください。信念を無視すると、拒否は受信者にとって最善の対応と見なすことができます。これは、拒否によって彼らの見返りに影響がないため (いずれにせよ贈り物がないため) です。さらに、オプション 3 は、ここでのサブゲームがゲーム全体のみであるため、SPE ですらあります。このようなありそうもない均衡は、完全情報を持つゲームでも発生する可能性がありますが、サブゲーム完全なナッシュ均衡を適用することで排除できます。ただし、ベイジアン ゲームには非シングルトン情報セットが含まれることが多く、サブゲームには完全な情報セットが含まれている必要があるため、サブゲームが 1 つ (ゲーム全体) しかない場合があり、そのためすべてのナッシュ均衡は当然サブゲーム完全です。ゲームに複数のサブゲームがある場合でも、サブゲームの完全性によって情報セットをカットできないため、ありそうもない均衡が排除されないことがあります。

要約すると、このギフト ゲームのバリエーションには 2 つの SPE があります。送信者が常に贈与し、受信者が常に受け入れるか、送信者が常に贈与せず、受信者が常に拒否するかのいずれかです。このうち、最初のものだけが PBE であり、もう 1 つはどの信念体系でもサポートできないため PBE ではありません。

さらなる例については、シグナリングゲーム#例を参照してください。また、さらなる例については^[2]も参照してください。この概念は、LorienteとDiez（2023）によるポーカーで最近応用されています。^[3]

マルチステージ ゲームとは、同時に行われる一連のゲームを次々にプレイすることです。これらのゲームは、同じもの (繰り返しゲームなど) の場合もあれば、異なる場合もあります。

次のゲーム^{[4] : セクション 6.2 は、}フリーライダー問題の単純な表現です。2 人のプレーヤーがいて、それぞれが公共財を建設するか建設しないかを選択できます。各プレーヤーは、公共財が建設された場合は 1 を獲得し、そうでない場合は 0 を獲得します。さらに、プレーヤーが公共財を建設する場合、コスト を支払わなければなりません。コストは秘密情報です。つまり、各プレーヤーは自分のコストを知っていますが、他のプレーヤーのコストは知りません。わかっているのは、各コストが何らかの確率分布から独立してランダムに抽出されることだけです。これにより、このゲームはベイズゲームになります。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle C_{i}}$

1 段階ゲームでは、各プレイヤーは、コストが建築から期待される利益よりも小さい場合に限り、建築を行います。建築から期待される利益は、他のプレイヤーが建築を行わない確率のちょうど 1 倍です。均衡状態では、すべてのプレイヤー に閾値コスト があり、コストが 未満の場合に限り、プレイヤーは貢献します。この閾値コストは、プレイヤーのコストの確率分布に基づいて計算できます。たとえば、コストが に均一に分布している場合、両方のプレイヤーの閾値コストが 2/3 である対称均衡が存在します。つまり、コストが 2/3 から 1 の間であるプレイヤーは、コストが利益を下回っていても、他のプレイヤーが貢献する可能性があるため、貢献しません。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle C_{i}^{*}}$${\displaystyle C_{i}^{*}}$${\displaystyle [0,2]}$

さて、このゲームが2回繰り返されると仮定します。^{[4] ：セクション8.2.3} 2つのプレイは独立しています。つまり、各プレイヤーは毎日、その日に公共財を建設するかどうかを同時に決定し、その日に財を建設した場合は報酬1を受け取り、その日に建設した場合はコストを支払います。ゲーム間の唯一のつながりは、1日目にプレイすることで、プレイヤーがコストに関する情報を明らかにする可能性があり、この情報が2日目のプレイに影響を与える可能性があるということです。

対称的な PBE を探しています。 を1 日目の両方のプレイヤーのしきい値コストで表します (つまり、 1 日目には、各プレイヤーはコストが最大で の場合にのみ を構築します)。 を計算するには、逆方向に作業して 2 日目のプレイヤーの行動を分析します。 彼らの行動は履歴 (= 1 日目の 2 つの行動) に依存し、3 つのオプションがあります。 ${\displaystyle {\hat {c}}}$${\displaystyle {\hat {c}}}$${\displaystyle {\hat {c}}}$

1. 1 日目には、どのプレイヤーも建築しませんでした。そのため、両方のプレイヤーは、相手のコストが を超えていることを知っています。それに応じて信念を更新し、相手が 2 日目に建築する可能性は低いと結論付けます。したがって、閾値コストが増加し、2 日目の閾値コストは になります。${\displaystyle {\hat {c}}}$${\displaystyle c^{00}>{\hat {c}}}$
2. 1 日目には、両方のプレイヤーが構築しました。そのため、両方のプレイヤーは、相手のコストが を下回っていることを知っています。それに応じて信念を更新し、相手が 2 日目に構築する可能性が高いと結論付けます。したがって、しきい値コストを下げ、2 日目のしきい値コストは になります。${\displaystyle {\hat {c}}}$${\displaystyle c^{11}<{\hat {c}}}$
3. 1 日目には、ちょうど 1 人のプレイヤーが建築しました。そのプレイヤーがプレイヤー 1 だと仮定します。したがって、プレイヤー 1 のコストは 未満で、プレイヤー 2 のコストは を超えることがわかります。2 日目のアクションが 1 日目のアクションと同一である均衡が存在します。つまり、プレイヤー 1 は建築し、プレイヤー 2 は建築しません。${\displaystyle {\hat {c}}}$${\displaystyle {\hat {c}}}$

これらの各状況で、「閾値プレイヤー」（コストがちょうど のプレイヤー）の期待される利益を計算することができます。閾値プレイヤーは貢献することと貢献しないことに無関心であるはずなので、1 日目の閾値コスト を計算することができます。この閾値は、1 段階のゲームでの閾値よりも低いことがわかります。つまり、2 段階のゲームでは、プレイヤーは1 段階のゲームよりも建設に積極的ではありません。直感的に、その理由は、プレイヤーが 1 日目に貢献しないと、他のプレイヤーにコストが高いと思わせ、2 日目に貢献する意欲が高まるためです。 ${\displaystyle {\hat {c}}}$${\displaystyle {\hat {c}}}$${\displaystyle c^{*}}$

公開オークションでは、入札者は現在の価格を少しずつ（たとえば、1 回につき 1 ドルずつ）上げることができます。ただし、ジャンプ入札が発生することがよくあります。つまり、一部の入札者は現在の価格を最小増分よりはるかに高く上げます。この理由の 1 つは、これが他の入札者へのシグナルとして機能することです。各入札者が自分の値が特定のしきい値を超えた場合にのみジャンプする PBE があります。ジャンプ入札#シグナルを参照してください。

• 順次均衡- PBE の改良版であり、均衡外の情報セットに割り当てることができる信念を「合理的な」ものに制限します。
• 直観的基準と神の均衡-シグナリング ゲームに特有の PBE のその他の改良。