ジャンプ入札

オークション理論では、ジャンプ入札とは、イギリスのオークションで現在の価格を、許可された最低額よりも大幅に 引き上げる行為を指します。

一見すると、ジャンプ入札は非合理的に思えます。どうやら、イギリスのオークションでは、表示価格を上回る価格を提示する各購入者は、常に表示価格より最小限の増分（たとえば 1 セント）だけ高い価格で入札するのが主流の戦略です。入札額を高くすると、入札者はより低い価格で商品を落札する機会を放棄することになります。

しかし、実際には、買い手は表示価格を、許可されている最小増額よりはるかに高く上げます。買い手は、一見不合理に思えるかもしれませんが、時には自分の最高入札額を増額することさえあります。

この動作についてはいくつかの説明が提案されています。

入札にコストがかかる場合、または時間がかかる場合、ジャンプ入札により入札者は総コストを削減し、より早く結果を得ることができます。^[1]

イギリスのオークション で何度も競い合うベテランの入札者 2 人を考えてみましょう。毎回、高額入札者が商品を獲得し、低額入札者には低額を支払います。そしてある日、彼らは協力することを決めます。つまり、今後は高額入札者が 1 で入札し、低額入札者が 0 で入札することに同意します。こうすることで、高額入札者が常に無料で商品を獲得できます。このような協力は、長期的には両方の入札者にとって非常に有益です。問題は、両方の入札者が自分の価値を実際よりも高く言うインセンティブを持っているため、協力を強制できないことです。

ここでジャンプ入札が役立ちます。これはシグナリングゲームのように機能します。^[2]ジャンプ入札によって、ジャンパーは自分の価値が高いことをシグナルし、他の入札者は自分の価値が低い場合はすぐにやめるべきであることを示します。

2 人の入札者、Xenia と Yakov が 1 つのアイテムのオークションに参加します。これは、次のパラメータを持つ共通値オークションです。ここで、AB と C は、区間 (0,36) 上の独立した一様ランダム変数です。

• ゼニアは見る。${\displaystyle X:=A+B}$
• ヤコフは見る。${\displaystyle Y:=B+C}$
• 両方の入札者にとってのアイテムの価値は です。${\displaystyle V:=(X+Y)/2=(A+2B+C)/2}$

オークションは 2 段階で進行します。

1. 最初の段階では、各入札者は 0 (ジャンプなし) または K (ジャンプ) のいずれかで入札します。1 人の入札者がジャンプした場合、その入札者がアイテムを勝ち取り、K を支払ってオークションは終了します。それ以外の場合は、
2. 第 2 段階では、現在の価格から始まる増分オークション (日本のオークション) が行われます。入札者が誰もジャンプしなかった場合は初期価格は 0 になり、入札者が両方ともジャンプした場合は K になります。

各入札者が自分の価値が特定の閾値 T を超える場合にのみジャンプする 対称的な完全なベイズ均衡が存在することを示します。これを示すために、逆方向に進みます。

第 2 段階では、各入札者が観測値で終了する対称均衡が存在します。Xenia は X で終了し、Yakov は Y で終了します。^{[なぜ? ]}

最初の段階では、Xenia の視点を取ります。Yakov の戦略は、信号が少なくとも T の場合にのみジャンプすることであると仮定します。Xenia の最適な応答を計算します。Xenia/Yakov がジャンプするかパスするかに応じて、考慮すべき 4 つのケースがあります。次の表は、これらの各ケースにおける Xenia の予想される純利益を示しています。

閾値（X = T）では、Xenia はジャンプとパスを区別しないはずです。 ${\displaystyle {\begin{aligned}&&E[V-K|Y<T,X=T]&=E[V-Y|Y<X,X=T]\\\implies &&K&=E[Y|Y<X=T]\\\implies &&K&=2T/3&&(when\,\,T\leq 36)\implies &&T&=3K/2&&(when\,\,K\leq 24)\end{aligned}}}$

したがって、対称 PBE 戦略 (少なくとも の場合) は、各入札者が自分の信号が少なくとも の場合にのみにジャンプすることです。 ${\displaystyle K\leq 24}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 3K/2}$

この PBE の結果は、標準的な日本のオークション (ジャンプ オプションなし) の結果とは大幅に異なります。例として、ジャンプ レベルを とします。したがって、対称 PBE 戦略は、信号が少なくとも 36 の場合にのみジャンプすることです。したがって、Xenia の値がたとえば 33 で、Yakov の値が 39 の場合、Xenia はパスし、Yakov はジャンプするため、Yakov が勝って 24 のみを支払います。対照的に、単純な日本のオークションでは、Xenia は 33 の値を維持するため、Yakov が勝って 33 を支払います。 ${\displaystyle K=24}$${\displaystyle T=36}$

この結果は、次の 2 つの理由から直感に反しているように思われます。

• なぜゼニアは 24 で諦めて 33 に進まないのでしょうか? ゼニアがジャンプして 33 に進んだ場合の報酬を分析してみましょう。
  • ヤコフもジャンプする場合、ヤコフの値は 36 を超えていることを意味します。つまり、ジャンプするかどうかに関係なく、ゼニアはいずれにせよ負けることになります。
  • ヤコフがジャンプしなければ、ゼニアは即座に勝ち、24 を支払います。しかし、ヤコフがジャンプせず、ゼニアもジャンプしなければ、ゼニアはアイテムを獲得し、Y を支払うことができます。そして、 を条件とする Y の期待値は のみで、この場合は 22 のみです。したがって、ジャンプしないことでゼニアが得ることができるのは のみです。${\displaystyle Y<X}$${\displaystyle 2X/3}$
• ヤコフはなぜ 24 にジャンプして、小さなステップで進まないのでしょうか? ジャンプせずに 39 に進んだ場合のヤコフの利益を分析してみましょう。
  • Xenia もジャンプしない場合は、Yakov が勝ち、X を支払います。Y を前提とした X の期待値は 2Y/3 = 26 です。しかし、ジャンプすることで、Yakov が支払う金額は 24 のみになります。
  • Xenia がジャンプすると、Yakov は負け、勝った場合に得られるはずの正味の利益ではなく、純利益は 0 になります。

ジャンプ入札は、非常に粗雑なコミュニケーション形式です。実際の価値を伝えるのではなく、自分の価値が特定のしきい値を超えていることを知らせるだけです。しきい値とジャンプの高さを慎重に選択することで、このコミュニケーションが自己執行的な合意であることが保証されます。つまり、両方の入札者が正直にコミュニケーションすることが最善です。

入札は段階的に進むため、ジャンプ入札によって結果が変わる可能性があります。たとえば、初期価格が 0、最小増分が 2、値が 9 と 10 であるとします。ジャンプ入札を行わない場合、9 番入札者は価格を 2 に上げ、10 番入札者は価格を 4 に上げ、9 番入札者は価格を 6 に上げ、10 番入札者は価格を 8 に上げ、9 番入札者は入札を中止しなければならなくなり、10 番入札者が落札して 8 を支払うことになります。しかし、9 番入札者が 0 から 8 にジャンプすると、10 番入札者は入札を中止して、9 番入札者が落札して 8 を支払う可能性があります。^[3]

一部の著者は、ジャンプ入札は入札者が共謀して最終価格を下げることを可能にするため、売り手の収益を減らすと主張しています。^[2]したがって、売り手にとっては、ジャンプ入札を許可しないオークション形式、たとえば日本のオークションを使用する方が収益性が高い可能性があります。

他の著者はこの主張に異議を唱えている。^{[3] [誰? ]}

• ビッドシェーディング- 入札者が商品の価値と考える金額よりも低い金額で入札する行為。
• Calor licitantis - 「入札熱」。