ソリューションコンセプト

ゲーム理論では、解決概念は、ゲームがどのようにプレイされるかを予測するための正式なルールです。これらの予測は「解決」と呼ばれ、プレイヤーがどの戦略を採用するか、つまりゲームの結果を説明します。最も一般的に使用される解決概念は均衡概念であり、最も有名なのはナッシュ均衡です。

多くのゲームでは、多くのソリューション コンセプトから複数のソリューションが生まれます。これにより、ソリューションのいずれかが疑わしくなるため、ゲーム理論家はソリューションを絞り込むために改良を加えることがあります。以下に示すソリューション コンセプトはそれぞれ、より豊富なゲームにおけるあり得ない均衡を排除することで、先行するソリューション コンセプトを改良しています。

をすべてのゲームのクラスとし、各ゲーム について、の戦略プロファイルの集合をとします。ソリューションコンセプトは直積の要素、つまりすべてのゲームについてとなる関数です。${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle G\in \Gamma }$${\displaystyle S_{G}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi _{G\in \Gamma }2^{S_{G}};}$ ${\displaystyle F:\Gamma \rightarrow \bigcup \nolimits _{G\in \Gamma }2^{S_{G}}}$${\displaystyle F(G)\subseteq S_{G}}$${\displaystyle G\in \Gamma .}$

このソリューションの概念では、プレーヤーは合理的であると想定されているため、厳密に支配された戦略は実行可能な戦略のセットから除外されます。他のプレーヤーが選択する戦略に関係なく、プレーヤーが常により高い報酬を持つ他の戦略を利用できる場合、戦略は厳密に支配されます。(厳密に支配された戦略は、ミニマックス ゲーム ツリー検索でも重要です。) たとえば、(単一期間の)囚人のジレンマ(以下に示す) では、どちらのプレーヤーも、対戦相手が何をするかに関係なく、常に不正を行う方が有利になるため、協力は両方のプレーヤーにとって不正によって厳密に支配されます。

ナッシュ均衡とは、各エージェント（エージェント i）が取るすべての戦略が、他のすべての対戦相手（j≠i ごとにエージェント j）が取る他のすべての戦略に対する最善の応答となる戦略プロファイル（戦略プロファイルは各プレイヤーの戦略を指定します。たとえば、上記の囚人のジレンマゲーム（協力、裏切り）では、囚人 1 は協力し、囚人 2 は裏切りを行うことを指定します）です。あるプレイヤーの戦略は、他のプレイヤーの戦略が取られるあらゆる状況でより高い報酬をもたらす他の戦略が取られていない場合、そのプレイヤーの戦略に対する最善の応答となり ます。

一部のゲームでは、複数のナッシュ均衡が存在します。しかし、それらのすべてが現実的であるとは限りません。動的ゲームでは、後方帰納法を使用して非現実的なナッシュ均衡を排除できます。後方帰納法では、プレイヤーは合理的であり、将来の予想に基づいて最善の決定を下すと想定しています。これにより、プレイヤーが求められても実行しないような、信じ難い脅威が排除されます。

たとえば、既存企業と業界への潜在的新規参入者とのダイナミックなゲームを考えてみましょう。既存企業は独占状態にあり、市場シェアを維持したいと考えています。新規参入者が参入した場合、既存企業は新規参入者と戦うか、または適応することができます。既存企業が適応した場合、新規参入者は参入して利益を得ます。既存企業が戦う場合、価格を下げて新規参入者を廃業させ (撤退コストを負担)、自社の利益に損害を与えます。

新規参入者が参入した場合、既存企業にとっての最善の対応は順応することであり、既存企業が順応した場合、新規参入者にとっての最善の対応は参入することです。これにより、ナッシュ均衡が生まれます。しかし、既存企業が戦うことを選択した場合、新規参入者にとっての最善の対応は参入しないことです。新規参入者が参入しない場合、既存企業が何を選択するかは問題ではありません。したがって、新規参入者が参入しない場合、戦うことが既存企業にとっての最善の対応であると考えることができ、別のナッシュ均衡が生まれます。

しかし、この 2 番目のナッシュ均衡は、既存企業からの信じ難い脅威に依存しているため、後方誘導によって排除できます。既存企業が戦うことを選択できる決定ノードに到達するまでに、新規参入者がすでに参入しているため、戦うことは非合理的です。したがって、後方誘導によってこの非現実的なナッシュ均衡が排除されます。

参照:

• 金融政策理論
• シュタッケルベルク大会

後方帰納法の一般化はサブゲーム完全性である。後方帰納法は、将来のプレイはすべて合理的であると仮定する。サブゲーム完全均衡では、すべてのサブゲームでのプレイは合理的である（具体的にはナッシュ均衡）。後方帰納法は、一定の長さの（有限の）ゲームを終了する場合にのみ使用でき、不完全情報を伴うゲームには適用できない。これらの場合、サブゲーム完全性を使用できます。上記の排除されたナッシュ均衡は、参加者が入った後に到達したノードから始まるサブゲームのナッシュ均衡ではないため、サブゲーム不完全である。

サブゲームの完全性は、不合理な結果に対して十分な制限を課さない場合があります。たとえば、サブゲームは情報セットを切り抜けることができないため、不完全情報のゲームにはサブゲームが 1 つ (それ自体) しか存在しない可能性があり、したがってサブゲームの完全性を使用してナッシュ均衡を排除することはできません。完全なベイズ均衡 (PBE) は、ゲームのプレイによって情報セット内のどのノードに到達したかに関するプレーヤーの戦略と信念の仕様です。決定ノードに関する信念は、特定のプレーヤーがそのノードがプレイ中である、またはプレイ中になる (均衡パス上) と考える確率です。特に、PBE の直感は、それが指定するプレーヤーの信念を前提として合理的なプレーヤー戦略を指定し、それが指定する信念がそれが指定する戦略と一致するというものです。

ベイジアン ゲームでは、戦略によって、そのプレイヤーが制御するすべての情報セットでプレイヤーがプレイするものが決まります。信念が戦略と一致するという要件は、サブゲームの完全性によって指定されるものではありません。したがって、PBE はプレイヤーの信念に対する一貫性条件です。ナッシュ均衡ではどのプレイヤーの戦略も厳密に支配されないのと同様に、PBE では、どの情報セットに対しても、その情報セット以降はどのプレイヤーの戦略も厳密に支配されません。つまり、その情報セットでプレイヤーが持つ可能性のあるすべての信念に対して、そのプレイヤーにとってより大きな期待利益をもたらす戦略は存在しません。上記のソリューションの概念とは異なり、均衡パスから外れていても、どの情報セットでもプレイヤーの戦略が厳密に支配されることはありません。したがって、PBE では、均衡パスから外れたどの情報セットでも厳密に支配される戦略をプレイすると脅すことはできません。

このソリューション コンセプトの名前の「ベイジアン」は、プレイヤーがベイズの定理に従って信念を更新するという事実を暗示しています。プレイヤーは、ゲームですでに起こったことを考慮して確率を計算します。

前方帰納法は、後方帰納法が将来のプレイが合理的であると想定するのと同様に、過去のプレイが合理的であったと想定するため、このように呼ばれています。プレイヤーが他のプレイヤーのタイプを知らない場合(つまり、情報が不完全で非対称な場合)、そのプレイヤーは、そのプレイヤーの過去の行動を観察することで、そのプレイヤーのタイプに関する確信を形成することがあります。したがって、対戦相手が特定のタイプである確率に関するそのプレイヤーの確信は、対戦相手が合理的であった過去のプレイに基づいています。プレイヤーは、自分のタイプを自分の行動を通じて知らせることを選択できます。

コールバーグとメルテンス (1986) は、安定均衡という解決概念を導入しました。これは、前向きの帰納法を満たす改良です。しかし、そのような安定均衡が後ろ向きの帰納法を満たさない反例が見つかりました。この問題を解決するために、ジャン=フランソワ メルテンスは、ゲーム理論家が現在メルテンス安定均衡概念と呼ぶものを導入しました 。これは、前向きの帰納法と後ろ向きの帰納法の両方を満たす最初の解決概念であると考えられます。

フォワードインダクションは、バーニングマネーゲームに独自のソリューションをもたらします。

• 拡張フォームゲーム
• 震える手のバランス
• 「直観的基準」（Cho & Kreps 1987）

• Cho, IK.; Kreps, DM (1987). 「シグナリングゲームと安定均衡」. Quarterly Journal of Economics . 102 (2): 179–221. CiteSeerX  10.1.1.407.5013 . doi :10.2307/1885060. JSTOR  1885060. S2CID  154404556.
• ドリュー・フーデンバーグ;ジャン・ティロール（1991）。ゲーム理論。マサチューセッツ州ケンブリッジ: MIT Press。ISBN 9780262061414。本のプレビュー。
• Harsanyi, J. (1973) 均衡点の数の奇数：新しい証明International Journal of Game Theory 2:235–250.
• ゴヴィンダン、スリハリ、ロバート・ウィルソン、2008年、「ナッシュ均衡の改良」『新パルグレイブ経済学辞典』第2版[1]
• Hines,WGS (1987)「進化的安定戦略：基礎理論のレビュー」理論集団生物学31:195–272。
• Kohlberg, Elon & Jean-François Mertens、1986年。「均衡の戦略的安定性について」、Econometrica、Econometric Society、vol. 54(5)、1003-37ページ、9月。
• レイトン・ブラウン、ケビン、ショーハム、ヨアブ（2008年）。『ゲーム理論のエッセンス：簡潔で学際的な入門』サンラファエル、カリフォルニア州：Morgan & Claypool Publishers。ISBN 978-1-59829-593-1。
• メルテンス、ジャン＝フランソワ、1989年。「安定均衡 - 再定式化。第1部 基本定義と特性」、オペレーションズ・リサーチ数学、第14巻、第4号、11月。[2]
• Noldeke, G. & Samuelson, L. (1993) 後方誘導と前方誘導の進化的分析。ゲームと経済行動5:425–454。
• メイナード・スミス、J. (1982)進化とゲーム 理論ISBN 0-521-28884-3 
• オズボーン、マーティン J.;ルビンスタイン、アリエル( 1994)。ゲーム理論講座。MIT出版。ISBN 978-0-262-65040-3。。
• セルテン、R.（1983）拡張2人ゲームにおける進化的安定性。数学。社会。科学。5：269–363。
• セルテン、R. (1988) 拡張2人ゲームにおける進化的安定性 - 修正とさらなる発展。数学。社会。科学。16:223–266
• ショーハム、ヨアブ、レイトンブラウン、ケビン (2009)。マルチエージェントシステム：アルゴリズム、ゲーム理論、論理的基礎。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-89943-7。
• Thomas, B. (1985a) 進化的安定集合についてJ. Math. Biol. 22:105–115.
• トーマス、B. (1985b) 混合戦略モデルにおける進化的安定集合。理論。ポップ。バイオル。28 :332–341