視差角

球面天文学では、視差角は天体と天頂を通る大円と天体の時円との間の角度です。[ 1 ]^通常、 qと表記されます。天頂—天体—天極の三角形では、視差角は天体における天頂の位置角になります。その名前に反して、この角度は視差とは無関係です。物体が子午線を横切るとき、視差角はゼロまたは180°になります。

地上の観測所では、地球の大気はプリズムのように機能し、異なる波長の光を分散させ、星が天頂を指す方向に沿って虹を生成します。したがって、天の極への方向がわかっている座標系を持つ天文画像が与えられた場合、視差角はその基準方向に対するプリズム効果の方向を表します。その角度を知ることは、大気分散補正器を望遠鏡のビーム軸に合わせるために必要です^{[2] [3]}

望遠鏡の架台の種類によっては、この角度が望遠鏡で見る天体のディスクの向きにも影響することがある。赤道儀では、天体のディスクの基本方位は、望遠鏡で見るときの垂直方向と水平方向に揃う。経緯台では、それらの方向は視差角の量だけ回転する。^[4]ここで言う基本方位とは、ディスクの中心からその方位を通る線が天の極の1つを指すか、そこから90°離れたところを指すような縁上の点であり、天体の回転軸によって定義される 基本方位ではない。

月の円盤の向きは地平線に対して日周運動によって変化し、視差角も同様に変化します。^[5]他の天体でも同様です。

暦表には、月や惑星の明るい縁の中点の位置角と、それらの北極の位置角が表にまとめられていることがあります。この角度が縁の北点から測定された場合、視差角を差し引くことで、観測者から見た天頂点（頂点）から測定された角度に変換できます。^{[5]明るい縁の位置角は、太陽}直下点の位置角と直接関係しています。

標準公式を導出するベクトル代数は 、コンパスコースの長い微分を計算することと同等です。角度の符号は基本的に維持され、どちらの場合も北が東より上ですが、天文学者は天球の内側から星を見るため、定義では、q がNCPの方向を反時計回りに天頂の方向に回転させる画像内の角度であるという規則を使用します。

赤道儀の赤経αと赤緯δでは、星は

${\displaystyle \mathbf {s} =\left({\begin{array}{c}\cos \delta \cos \alpha \\\cos \delta \sin \alpha \\\sin \delta \end{array} }\右）。}$

北天の極は

${\displaystyle \mathbf {N} =\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right).}$

この同じ座標系では、高度、 a=π/2、cos a=0を変換 式に代入して天頂を求めると、

${\displaystyle \mathbf {z} =\left({\begin{array}{c}\cos \varphi \cos l\\\cos \varphi \sin l\\\sin \varphi \end{array}}\右）、}$

ここで、φ は観測者の地理的な緯度、l は現地の恒星時です。

これは、X 軸が南に揃い、子午線が地平線と交差し、Y 軸が東の地平線に、Z 軸が天頂に向いた、回転する右利きの観測座標系も表します。これは高度と方位角が測定される座標系です。ある瞬間l の星について、予想される高度aで、その天頂距離をz=π/2-aと定義します。その時角 は、星が子午線を横切ってからの経過した恒星時間隔を測定します。星が子午線の東にあり、子午線を横切る予定がない場合は負になります。 ${\displaystyle h=l-\alpha }$

正規化されたクロス積は、星を天頂方向に向ける回転軸です。

${\displaystyle \mathbf {\omega } _{z}={\frac {1}{\sin z}}\mathbf {s} \times \mathbf {z} ={\frac {1}{\sin z} }\left({\begin{array}{c}\cos \delta \sin \alpha \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi \sin l\\-\cos \delta \cos \alpha \sin \varphi +\sin \delta \cos \varphi \cos l\\\cos \delta \cos \varphi \sin(\alpha -l)\end{array }}\右）。}$

最後に、ω _z × s は傾斜座標系の 3 番目の軸であり、星が大円上で天頂に向かって移動する方向です。

星の天球に接する平面は北への単位ベクトルによって張られ、

${\displaystyle \mathbf {u} _{\delta }=\left({\begin{array}{c}-\sin \delta \cos \alpha \\-\sin \delta \sin \alpha \\\cos \delta \end{array}}\right),}$

そして東へ

${\displaystyle \mathbf {u} _{\alpha }=\left({\begin{array}{c}-\sin \alpha \\\cos \alpha \\0\end{array}}\right).}$

これらは直交します:

${\displaystyle \mathbf {u} _{\delta }\cdot \mathbf {u} _{\alpha }=0;\quad \mathbf {u} _{\delta }^{2}=\mathbf {u} _{\alpha }^{2}=1.}$

視差角qは、北東のsにおける大円の最初の断面の角度である^[6]

${\displaystyle \omega _{z}\times \mathbf {s} =\cos q\,\mathbf {u} _{\delta }+\sin q\,\mathbf {u} _{\alpha }.}$

${\displaystyle \cos q=(\omega _{z}\times \mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _{\delta }={\frac {1}{\sin z}}(\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi \cos h),}$

${\displaystyle \sin q=(\omega _{z}\times \mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _{\alpha }={\frac {1}{\sin z}}\sin h\cos \varphi .}$

（前の式は球面三角法の正弦公式です。^{[7] ）} sin zとcos φの値は正なので、atan2関数を使用して、符号を失うことなく両方の式をこれらで割ることができます。

${\displaystyle \tan q={\frac {\sin h\cos \varphi }{\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi \cos h}}={\frac {\sin h}{\cos \delta \tan \varphi -\sin \delta \cos h}}}$

は、-π ≤ q ≤ πの全範囲の角度を生成します。この式の利点は、方位角Aのさまざまなオフセット規則に依存しないことです。これは、議論の余地のない時角hのオフセットによって処理されます。

恒星ターゲットの場合、定義によりδとαは時間に依存しないため、角度は恒星日 T _sの周期で変化します。点が時間微分を表すと、時角は次のように変化します^[8]

${\displaystyle {\dot {h}}={\frac {2\pi }{T_{s}}}}$

そしてtanq式の時間微分は^[9]である。

${\displaystyle {\dot {q}}{\frac {1}{\cos ^{2}q}}={\frac {\cos \varphi [\cos h\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi ]}{(\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi \cos h)^{2}}}{\dot {h}};}$

${\displaystyle {\dot {q}}={\frac {\cos \varphi [\cos h\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi ]}{\sin ^{2}z}}{\dot {h}}={\frac {\cos \varphi \cos a\cos A}{\sin ^{2}z}}{\dot {h}}={\frac {\cos \varphi \cos A}{\sin z}}{\dot {h}}.}$

上記で導出された値は、たとえ北天極が見えない場合（つまり、望遠鏡が赤道の南にある場合）であっても、常に座標の原点として北天極を参照します。著者の中には、南天極を基準とする赤道の南にある望遠鏡に対して同様の角度を導出するために、変数符号を使用したより複雑な式を導入している人もいます。^[10]

• 献酒
• 赤道儀
• アルタジムスマウント

• Taff, Laurence G. (1981).計算球面天文学. Wiley. Bibcode :1981csa..book.....T. ISBN 0471-873179。
• カルトーネン、ハンヌ。クローガー、ペッカ。オージャ、ヘイキ。ポウタネン、マルク。ドナー、カール・ヨハン編。 （1987年）。基本的な天文学。スプリンガー。Bibcode :2003fuas.book....K. ISBN 0-387-17264-5。