セパロイド

数学において、セパロイドとは、包含によって誘導される標準順序でイデアルとして安定している、互いに素な集合間の二項関係である。グラフ、凸集合の構成、有向マトロイド、多面体など、一見全く異なっているように見える多くの数学的対象は、セパロイドの枠組みの中で共通の一般化を見出す。任意の可算カテゴリは、準同型性^[1] (いわゆる極小ラドン分割を保存するマッピング)が備わっている場合、セパロイドの誘導サブカテゴリになる。

この一般的な枠組みでは、異なるカテゴリのいくつかの結果と不変量は、同じ側面の特殊なケースであることがわかります。たとえば、グラフ理論の擬似無彩色数と組合せ論的凸性からのトヴェルグ定理は、単に同じ側面、つまりセパロイドの完全な着色の 2 つの側面です。

公理

セパロイド^[2]は、その冪集合上の二項関係を備えた集合であり、に対して次の単純な性質を満たす。 $S$ $\mid \ \subseteq 2^{S}\times 2^{S}$ $A,B\subseteq S$

A\mid B\Leftrightarrow B\mid A,

A\mid B\Rightarrow A\cap B=\varnothing ,

A\mid B{\hbox{ および }}A'\subset A\Rightarrow A'\mid B.

関連するペアは分離と呼ばれ、 A は B から分離されているとよく言われます。セパロイドを再構築するには、 最大の分離を知っていれば十分です。 $A\mid B$

写像は、分離の原像が分離であるとき、分離体の射である。すなわち、 $\varphi \colon S\to T$ $A,B\subseteq T$

A\mid B\Rightarrow \varphi ^{-1}(A)\mid \varphi ^{-1}(B)。

例

セパロイドの例は数学のほぼすべての分野で見ることができます。^[3]^[4]^[5]ここではほんのいくつかを挙げます。

1.グラフG=(V,E) が与えられたとき、その頂点上のセパロイドを定義できる。Vの 2 つの (互いに素な) 部分集合、たとえば A と B は、一方から他方に向かう辺が存在しない場合に分離されている。つまり、

A\mid B\Leftrightarrow \forall a\in A{\hbox{ and }}b\in B\colon ab\not \in E.

2. 有向マトロイド^[5] M = ( E , T )が与えられ、そのトープTによって与えられると、2つの部分集合がトープの反対の符号に含まれる場合、それらの部分集合は分離されているとすることで、 E上のセパロイドを定義できる。言い換えれば、有向マトロイドのトープは、セパロイドの最大分離である。この例には、もちろん、すべての有向グラフが含まれる。

3.ユークリッド空間内のオブジェクトの族が与えられたとき、2 つの部分集合を分離する超平面が存在する場合、つまりそれらの超平面の反対側にそれらの部分集合が残る場合、それらの 2 つの部分集合は分離されていると定義できます。

4.位相空間が与えられたとき、2 つの部分集合は、それらを含む 2 つの互いに素な開集合(それぞれに 1 つ) が存在する場合に分離されているというセパロイド (分離体) を定義できます。

基本的な補題

すべてのセパロイドは、あるユークリッド空間内の凸集合の族と、それらの分離を超平面で表すことができます。

参考文献

^ Strausz, Ricardo (2007 年 3 月 1 日). 「セパロイドの準同型」.離散数学の電子ノート. 28 : 461–468. doi :10.1016/j.endm.2007.01.064. Zbl 1291.05036.
^ Strausz, Ricardo (2005). 「セパロイドとTverberg型の問題」. Geombinatorics . 15 (2): 79–92. Zbl 1090.52005.
^ アローチャ、ホルヘ・ルイス;ブラチョ、ハビエル。モンテハーノ、ルイス。デボラ・オリヴェロス;シュトラウス、リカルド (2002)。「セパロイド、そのカテゴリー、および横断に関するハドウィガー型定理」。離散幾何学と計算幾何学。27 (3): 377–385。土井：10.1007/s00454-001-0075-2。
^ ネシェトジル、ヤロスラフ;シュトラウス、リカルド (2006)。「セパロイドの普遍性」(PDF)。Archivum Mathematicum (ブルノ)。42 (1): 85-101。
^ ab Montellano-Ballesteros, Juan José; Strausz, Ricardo (2006 年 7 月)。「均一な方向を持つマトロイドのコサーキットグラフの特徴付け」。Journal of Combinatorial Theory。シリーズ B。96 ( 4): 445–454。doi : 10.1016 /j.jctb.2005.09.008。Zbl 1109.52016。

さらに読む

シュトラウス、リカルド (1998)。「セパロイデス」。シトゥス、セリエB、5位。メキシコ国立自治大学。
モンテジャノ＝バレステロス、フアン・ホセ。ポル、アッティラ。シュトラウス、リカルド (2006)。「セパロイドに関するトベルベルグ型定理」。離散幾何学と計算幾何学。35 (3): 513–523。土井：10.1007/s00454-005-1229-4。
Bracho, Javier; Strausz, Ricardo (2006). 「セパロイドの2つの幾何学的表現」Periodica Mathematica Hungarica . 53 (1–2): 115–120. doi : 10.1007/s10998-006-0025-0 .
シュトラウス、リカルド (2008)。「セパロイドに対するエルデシュ・セーケレスの『ハッピーエンド』型定理」。欧州組合せ論ジャーナル。29 (4): 1076–1085。土井：10.1016/j.ejc.2007.11.011。

[1] Strausz, Ricardo (2007 年 3 月 1 日). 「セパロイドの準同型」.離散数学の電子ノート. 28 : 461–468. doi :10.1016/j.endm.2007.01.064. Zbl 1291.05036.

[2] Strausz, Ricardo (2005). 「セパロイドとTverberg型の問題」. Geombinatorics . 15 (2): 79–92. Zbl 1090.52005.

[3] アローチャ、ホルヘ・ルイス;ブラチョ、ハビエル。モンテハーノ、ルイス。デボラ・オリヴェロス;シュトラウス、リカルド (2002)。「セパロイド、そのカテゴリー、および横断に関するハドウィガー型定理」。離散幾何学と計算幾何学。27 (3): 377–385。土井：10.1007/s00454-001-0075-2。

[4] ネシェトジル、ヤロスラフ;シュトラウス、リカルド (2006)。「セパロイドの普遍性」(PDF)。Archivum Mathematicum (ブルノ)。42 (1): 85-101。

[M-BS-5] Montellano-Ballesteros, Juan José; Strausz, Ricardo (2006 年 7 月)。「均一な方向を持つマトロイドのコサーキットグラフの特徴付け」。Journal of Combinatorial Theory。シリーズ B。96 ( 4): 445–454。doi : 10.1016 /j.jctb.2005.09.008。Zbl 1109.52016。