ほぼ互いに素な集合

数学では、2つの集合の交差が何らかの意味で小さい場合、それらの集合はほぼ互いに素 である^{[1] [2]。}「小さい」の定義が異なれば、「ほぼ互いに素」の定義も異なる。

最も一般的な選択は、「小さい」を有限であることを意味すると解釈することです。この場合、2つの集合の交差が有限であれば、それらの集合はほぼ互いに素です。つまり、

${\displaystyle \left|A\cap B\right|<\infty .}$

(ここで、「| X  |」はXの濃度を示し、「< ∞」は「有限」を意味します。) たとえば、閉区間[0, 1] と [1, 2] は、その共通部分が有限集合 {1} であるため、ほぼ互いに素です。 ただし、単位区間[0, 1] と有理数集合Qは、共通部分が無限であるため、ほぼ互いに素ではありません。

この定義は、任意の集合のコレクションに適用されます。集合内の2 つの異なる集合がほぼ互いに素である場合、集合はペアワイズほぼ素、または相互にほぼ素です。多くの場合、接頭辞「ペアワイズ」は省略され、ペアワイズほぼ素のコレクションは単に「ほぼ素」と呼ばれます。

形式的には、I をインデックス集合とし、I内の各iに対してA _iを集合とする。すると集合の集合 { A _i  : i in I } は、 I内の任意のiとj に対して、ほぼ互いに素である。

${\displaystyle A_{i}\neq A_{j}\quad \implies \quad \left|A_{i}\cap A_{j}\right|<\infty .}$

たとえば、R ²の原点を通るすべての直線の集合は、それらの 2 つが原点でのみ交わるため、ほぼ互いに素です。{ A _i  } が複数の集合からなるほぼ互いに素な集合である場合、明らかにその交差は有限です。

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}}$

しかし、逆は当てはまりません。コレクションの交差点

${\displaystyle \{\{1,2,3,\ldots \},\{2,3,4,\ldots \},\{3,4,5,\ldots \},\ldots \}}$

は空ですが、コレクションはほとんど互いに素ではありません。実際、このコレクション内の任意の 2 つの異なるセットの共通部分は無限です 。

自然数の集合上の最大ほぼ分離した族（一般にMAD族と呼ばれる）の可能な基数は、熱心な研究の対象となっている。^{[3] [2]そのような}基数の最小無限は、連続体の古典的な基数特性の1つである。^{[4] [5]}${\displaystyle \omega}$

「ほぼ互いに素」は、他の意味、または測度論や位相カテゴリの意味で使われることもあります。以下は、時々使用される「ほぼ互いに素」の別の定義です (無限コレクションにも同様の定義が適用されます)。

• κを任意の基数とする。2つの集合AとBは、その共通部分の基数がκより小さいとき、ほぼ互いに素である。つまり、

${\displaystyle \left|A\cap B\right|<\kappa .}$

κ = 1 の場合は単純に非素集合の定義である。

${\displaystyle \kappa =\アレフ _{0}}$

これは、 AとBの交差が有限である場合の、上記で示したほぼ互いに素の定義に過ぎません。

• m を測度空間X上の完全測度とする。Xの2つの部分集合AとB は、それらの共通部分が空集合である場合、すなわち

${\displaystyle m(A\cap B)=0.}$

• X を位相空間とします。Xの2 つの部分集合AとB は、それらの共通部分がX内でわずかである場合、ほぼ互いに素です。