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沖塩の定理は、日本の経済学者、沖塩信夫によって定式化された定理である。この定理は、マルクスの価値論に関する議論に大きな影響を与えてきた。直感的に言えば、ある資本家がコスト削減につながる新技術を導入することで利益を増やせば、社会全体の資本家の利益率（全体的利益率）も上昇するというものである。沖塩は1961年、実質賃金が一定であるという前提のもとでこの定理を確立した。したがって、この定理は、純粋な技術革新の効果を、それに伴う賃金の変化から切り離して分析するものである。
このため、1961年に初めて提唱されたこの定理は、マルクスの利潤率低下傾向の法則に矛盾するとして、大きな関心と論争を巻き起こした。マルクスは、新しい技術が導入された産業分野全体に普及した後、新たな一般利潤率は以前よりも低くなると主張していた。現代風に言えば、資本家は合理性の罠、あるいは囚人のジレンマに陥ることになる。つまり、一人の資本家の観点からは合理的であっても、システム全体、すなわちすべての資本家の集合体にとっては非合理的になるということである。この結果は、マルクス自身を含め、資本主義にはその成功に対する内在的な限界があることを確立するものとして広く理解されていた。したがって、西側諸国では、沖潮の定理は、マルクスのこの根本的な結果の証明が矛盾していることを示すものとして受け止められたのである。
より正確に言えば、この定理は、新たな生産技術が導入され、その技術が導入された時点の価格において、ある産業における単位生産コストが、技術導入前の単位生産コストよりも低くなる場合、経済全体の一般利益率は高くなる、と述べている。沖塩（1961:88）が指摘するように、この定理は基幹産業以外の産業部門には適用されない。
この定理の証明は、ペロン・フロベニウスの定理の応用として理解するのが最も容易でしょう。この定理は、非負行列の理論として知られる線形代数の分野に由来します。この基礎理論に関する優れた参考書としては、セネタ（1973）が挙げられます。しかしながら、沖塩の定理の記述、およびそれをめぐる論争は、ペロン・フロベニウスの定理や非負行列の一般理論を参照したり、それらについて深く理解したりすることなく、直感的に理解することができます。
日本の経済学者、沖塩信夫の議論は、スラッファ・モデルに基づいている。経済は第I部門と第II部門の2つから構成され、第I部門は投資財部門（生産手段）であり、第II部門は消費財部門であり、労働者向けの消費財が生産される。生産係数は、特定の財の1単位の生産量（「財による財の生産」）を生産するために、様々な投入要素のうちどれだけが必要かを示す。以下のモデルでは、2つの産出物が存在する。投資財の量、そして消費財の量。
生産係数は次のように定義される。
労働者は、一定の労働単位当たりの賃金率wで賃金を受け取る。この賃金率は、一定の消費財の量によって定義される。
したがって：
この表は経済状況を示しています。
これは以下の式と同等です。
第1部門における投資財または固定資本に対する費用は以下のとおりです。
第II部門における固定資本の費用は以下のとおりです。
変動資本の場合：
（経済全体の不変資本と変動資本は、これら2つの部門の資本の加重平均である。不変資本と変動資本の合計を算出する際の重み付けとなる、2つの部門の相対的な規模については下記を参照のこと。）
ここで、以下の仮定を置く。
オキシオは、マルクス主義の伝統に倣い、実質賃金率が労働力の価値に等しいという一定の前提を置いている。つまり、賃金率は労働者が労働力を再生産するために必要な消費財のバスケットを購入できる水準でなければならない。したがって、この例では、労働者は労働力を再生産するために、1時間の労働につき2点の消費財を受け取ると仮定している。
スラッファによれば、生産技術はその生産係数によって定義される。例えば、ある技術は、以下の生産係数によって数値的に指定される可能性がある。
これから均衡成長経路を計算できる。投資財の価格は次のように計算される（ここでは示していない）。利益率は以下のとおりです。平衡方程式系は次のようになる。
第I部門に属する個々の企業は、部門全体と同じ生産技術を用いることになっている。したがって、この企業の生産技術は次のように記述される。
この企業は、1単位の生産に必要な労働時間を短縮する技術を導入することで技術進歩をもたらし、それぞれの生産係数は、例えば半分に減少する。にこれにより、資本の技術的構成がすでに増加します。なぜなら、1単位の生産物（投資財）を生産するために必要な労働時間は半分で済む一方、必要な投資財の量は以前と同じだからです。さらに、省力化技術は投資財の生産的消費の増加と密接に関連していると想定されるため、それぞれの生産係数は、例えば、に。
この企業は、新しい生産技術を採用した後、次の式で表されます。ただし、生産技術を変更したのはこの企業のみであり、価格と賃金率は当初は同じままであると仮定します。
この企業は利益率をにこれは、企業が新しい技術を導入するのは、それが利益率を高める場合に限られるというマルクスの主張と一致する。[ 1 ]
しかしマルクスは、新しい技術が業界全体に広まり、その業界の他の企業に採用されれば、先駆的な企業だけでなく、業界全体、ひいては経済全体の新たな均衡利潤率は再びいくらか低下すると予想した。伝統的な論理では、「生きた労働」だけが価値を生み出すのに対し、固定資本、すなわち投資財への支出は価値を生み出さない。固定資本の価値は最終製品にのみ移転される。新しい技術は一方では省力化をもたらすが、他方では投資財への支出が増加しているため、利潤率は最終的に低下するはずである。
新しい技術が部門I全体に普及すると仮定します。新しい均衡成長率と新しい価格を計算します。新たな一般利益率が確立されたという前提の下で、以下の値が得られる。
新しい技術が部門 I 内で一般的に採用された場合、新しい均衡一般利益率は、先駆的企業が最初に持っていた利益率よりもやや低くなります (しかし、それでも従来の一般的な利益率よりは高い。より大きい。
沖塩信夫はこれを一般的に証明しており、これはマルクスの利潤率低下傾向の法則に対する反駁と解釈できる。この証明は、モデルを流動資本だけでなく固定資本も含むように拡張した場合にも確認されている。機械化とは、生産単位当たりの機械投入量の増加と、同じか減少した労働投入量の組み合わせと定義され、必然的に最大利潤率を低下させる。[ 2 ]
マルクス主義者の中には、利潤率低下傾向の法則を単純に放棄し、資本主義を批判する理由は他にも十分あり、法則を用いなくても危機傾向を確立できるため、マルクスの経済理論の本質的な特徴ではないと主張する者もいる。一方、この法則は危機の周期的な変動を説明するのに役立つが、資本主義経済の長期的な発展を説明する道具としては使えないと主張する者もいる。
マルクスの法則は、一定の実質賃金「率」ではなく一定の「賃金分配率」を仮定すれば成り立つと主張する者もいる。その場合、囚人のジレンマは次のように機能する。一定資本への支出を増やすことで技術進歩を導入した最初の企業は、追加的な利益を得る。しかし、この新しい技術が業界全体に広がり、すべての企業が一定資本への支出を増やすと、労働者は労働生産性の向上に比例して賃金を調整する。一定資本への支出が増加し、賃金も増加したため、すべての企業にとって利益率は低下する。
しかし、マルクスは一定の賃金分配率の法則を知らなかった。数学的には、賃金分配率を下げることで利潤率を常に安定させることができる。例えば、我々の例では、利潤率の上昇は賃金分配率の低下と密接に関係している。に計算については下記を参照のこと。ただし、新古典派モデルでは、賃金は労働の限界生産物に等しいという仮定があるため、賃金分配率の減少は不可能である。
3つ目の反応は、スラッファ・モデルの枠組み全体、特に比較静学法を拒否することである。[ 3 ]クリマンは、このモデルは投入価格と産出価格が同じであり、一連の連続的なイノベーションではなく、1つの技術転換しか起こらないと仮定していると主張する。[ 3 ]「法則をざっと読んだだけでも、それが継続的な一連の技術変化の影響を指していることがすぐにわかる。そして、これらの技術変化は（一定の貨幣価値表現を前提として）商品の価格の継続的な一連の低下につながると考えられている」と彼は書いている。資本主義経済では、企業家は経済が新たな均衡経路に達するまで待つのではなく、新しい生産技術の導入は継続的なプロセスである。マルクスの法則は、新たな追加の雇用ではなく、雇用あたりの生産のますます大きな部分が投資される場合に有効となる可能性がある。このような継続的なプロセスは、スラッファ・モデルの比較静学法では説明できない。
アルフレッド・ミュラー[ 4 ]によれば、オキシオの定理は、資本家が経済全体について調整を行い、中央計画資本主義経済を実現した場合には真となり得るが、これはそれ自体矛盾である。生産手段が私有財産である資本主義経済では、経済全体の計画は不可能である。個々の資本家はそれぞれの利益を追求し、全体的な高い成長率や利益率を達成するために協力しない。
これまでは貨幣変数のみを記述すれば十分であった。分析を拡張して、例えば経済全体の不変資本c、変動資本v、剰余価値（または利潤）sの値を計算したり、剰余価値率s / vや資本の価値構成といったこれらの値の比率を計算したりするには、一方の部門と他方の部門の相対的な規模を知る必要がある。部門 I（投資財）と部門 II（消費財）の両方が均衡状態で継続的に成長するためには、これら 2 つの部門の間に一定の規模の比率が存在しなければならない。この比率は、貨幣レベルとは対照的に、物理的（または物質的）レベルでの継続的な成長をモデル化することによって見出すことができる。
上記の式では、すべての部門に対して、一般的な均等な利益率が計算されました。
それによって、価格を基準価格として恣意的に決定する必要が生じた。この場合、価格は消費財は 1 (numéraire) に設定され、投資財の価格はそして、が計算された。こうして、金銭的な観点から、安定的な成長のための条件が確立された。
物質的なレベルにおいてもこの着実な成長を確立するためには、以下の条件が満たされなければならない。
したがって、2 つの部門 I と II の相対的な大きさを表す追加の量 K を決定する必要があり、部門 I の重みは 1、部門 II の重みはKとなります。
総利益が、与えられた技術水準で次の生産期間にさらに生産するための投資に使用されると仮定すると、利益率rは成長率gに等しくなります。
利益率を用いた最初の数値例では我々は持っています：
第2部門の重量は。
利益率に関する2番目の数値例我々は以下を得る：
さて、第2部門の重みは成長率gは、それぞれ利益率rに等しい。
2 つの数値例それぞれについて、最初の式の左辺は入力です。そして、2番目の式の左辺は入力量です。2 つの数値例の最初の方程式の右辺には、それぞれ 1 単位の出力があります。そして各例の2番目の式はK単位の出力である。。
入力価格を掛けた固定資本cの貨幣価値を示す。入力の乗算 定価で可変資本の貨幣価値を示す。1単位の生産量そしてK単位の出力価格を掛け合わせたものそしてそれぞれ経済全体の売上高c + v + sを示します。
総売上高から固定資本と変動資本の合計値（c + v）を差し引くと、利益sが得られます。
これで、資本の価値構成c / v、剰余価値率s / v、および「賃金分配率」v /( s + v ) を計算できます。
最初の例では、賃金シェアはそして2番目の例では剰余価値率はそれぞれ0.706と1.389である。資本価値構成比c / vは、最初の例では6.34、2番目の例では12.49である。式によれば
2つの数値例について、利益率を計算すると、次のようになる。そしてそれぞれ。これらは、直接金額で計算された利益率と同じである。
これらの例の問題点は、比較静学に基づいている点にある。比較対象は、それぞれ均衡成長経路をたどる異なる経済である。不均衡モデルは、異なる結果をもたらす。資本家が利潤率を高めるために資本の技術構成を引き上げると、経済が新たな均衡成長経路に到達するのに十分な時間がないという継続的なプロセスにつながる可能性がある。資本の技術構成の増加は雇用創出を犠牲にして継続的に行われ、少なくとも労働市場は停滞する。今日、利潤率低下傾向の法則は、特に沖塩批判への反論として、不均衡分析の観点から解釈されることが多い。
1999年から2004年の間に、マルクス主義経済学者のデイビッド・ライブマンは、マルクスの価値理論の時間的単一システム解釈（TSSI）に関する少なくとも9つの論文を発表した。 [ 5 ] 彼の「沖塩定理とその批判」は、沖塩定理の時間主義的批判に対する最初の発表された応答であった。この定理は、カール・マルクスの利潤率の傾向的低下の法則を否定するものと広く考えられていたが、TSSIの支持者は、沖塩定理は誤りであり、自分たちの研究がそれを反駁すると主張している。ライブマンは、定理は正しいものであり、TSSIの研究はそれを反駁するものではないと主張した。
1999 年にResearch in Political Economyに掲載されたシンポジウムの基調論文[ 6 ]において、ライブマンの主要な主張は、クリマン (1996) [ 7 ]で示された利潤率の低下は、永久に存続する固定資本が存在するという同論文の仮定に決定的に依存しているというものであった。ライブマンは、古く生産性の低い固定資本の減価償却や早期廃棄があれば、(1) 生産性が向上し、時間的に決定される価値利潤率が上昇する、(2) したがってこの価値利潤率はオキシオの物質利潤率に「収束」する、(3) したがってこの価値利潤率は物質利潤率に「支配される」と主張した。
これらの議論やその他の議論は、翌年に同じ雑誌に掲載された第2回シンポジウムのアラン・フリーマンとアンドリュー・クリマン（2000）の基調論文[ 8 ]で回答された。ライプマンは、その回答の中で、主張（1）から（3）を擁護しないことを選択した。彼は代わりに「時間的価値利益率追跡定理」を提唱し、それを「（時間的に決定される価値利益率）は最終的に（沖塩の物質的利益率の）傾向に従わなければならない」と説明した[ 9 ]。 「追跡定理」は、部分的に次のように述べている。「物質的利益率が漸近線まで上昇する場合、価値率は漸近線まで低下するか、または最初に低下してから物質率を永久に下回る漸近線まで上昇する」[ 10 ]。クリマンは、この記述は「主張（1）から（3）とライブマンの『追跡定理』の特徴付けに矛盾する。物理的（すなわち物質的）利益率が永遠に上昇し、価値利益率が永遠に低下する場合、価値率は物理的（すなわち物質的）率の傾向に、最終的にさえも従っていないことは確かである」と主張する[ 11 ] 。
同じ論文の中で、ライブマンは、時間的に決定された価値利潤率の経路が沖塩の物質利潤率の経路から永遠に乖離する可能性があるにもかかわらず、沖塩の定理は正しいと主張した。彼は次のように書いている。「実行可能な技術変更が行われ、実質賃金率が一定であれば、新しい物質利潤率は古い利潤率よりも高くなければならない。沖塩、レーマー、フォーリー、私、あるいは他の誰かが主張してきたのはそれだけだ！」[ 12 ] 言い換えれば、沖塩の定理の支持者は、投入価格と産出価格がたまたま等しい場合のみ、利潤率がどのように振る舞うかについて常に語ってきたのである。クリマンとフリーマンは、ライブマンのこの発言は単に「物理主義の伝統の誤りを免罪しようとする試み」であると示唆した。[ 13 ]沖塩の定理は常にマルクスの利潤率の傾向的低下の法則の反証として理解されてきたが、マルクスの法則は、何らかの理由で投入価格と産出価格が等しくなるという想像上の特殊なケースには当てはまらない、と彼らは主張した。
