非一様場における重心

物理学では、物体の重心は、重力の相互作用を要約して説明するために使用できる点です。均一な重力場では、質量の中心が重心として機能します。これは、地球の表面近くの小さな物体に非常に近い近似値であるため、工学や医学などのほとんどのアプリケーションでは、「重心」と「質量の中心」を区別する必要はほとんどありません。

非一様重力場では、位置エネルギー、力、トルクなどの重力効果は、質量中心のみを使用して計算することはできません。特に、非一様重力場では、質量中心を通る軸の周りでも、物体にトルクが発生する可能性があります。重心はこの効果を説明するものです。正式には、重心とは、物体にかかる合力の作用点です。そのような点は存在しない可能性があり、存在する場合でも一意ではありません。さらに、重力場を平行または球対称として近似することで、一意の重心を定義できます。

重心の概念は質量の中心とは別個に、非均一な場が重要となる天体力学の分野でさえ、応用ではほとんど使用されません。重心は外部場によって決まるため、質量の中心の運動よりも重心の動きを判定することが困難です。重力トルクを扱う一般的な方法は場の理論です。

物体の重心を定義する方法の 1 つは、物体に唯一の点が存在する場合、次の要件を満たす点として定義することです。物体が配置されている力の場における物体の配置に関係なく、その点の周りにはトルクが存在しません。この重心は力が均一である場合にのみ存在し、その場合、重心は質量の中心と一致します。^{[1]このアプローチは}アルキメデスにまで遡ります。^[2]

物体が不均一な外部重力場の影響を受ける場合、重力が作用する点として作用する重力場に対する重心を定義できる場合があります。 『ファインマン物理学講義』などの教科書では、重心はトルクがかからない点であると説明されています。言い換えれば、重心は合力が作用する点です。^{[3]この定式化では、重心}r _{cg は}次の式を満たす点として定義されます。

${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {cg} }\times \mathbf {F} ={\boldsymbol {\tau }},}$

ここでFとτは重力によって物体に作用する力とトルクの総和である。^[4]

r _cgに関する一つの複雑な点は、その定義方程式が一般には解けないことである。Fとτが直交していない場合、解は存在しない。重力の力は合力を持たず、どの点でも単一の力に置き換えることはできない。^{[5]すべての力が単一平面上にある場合や単一点に沿っている場合など、} Fとτが直交することが保証される重要な特殊なケースもいくつかある。^[6]

方程式が解ける場合、別の複雑さがあります。その解は一意ではありません。代わりに、無限に多くの解があります。すべての解の集合は、力の作用線として知られています。この線は、重りFに平行です。一般に、特定の点を唯一の重心として選択する方法はありません。^[7]重力場が平行または球対称である場合など、いくつかの特殊なケースでは、単一の点が選択されることがあります。これらのケースについては以下で検討します。

重力場の不均一性の一部は、可変だが平行な場としてモデル化できる。g ( r ) = g ( r ) n、ここでn は定数の単位ベクトルである。不均一な重力場は正確に平行にはならないが、物体が十分に小さい場合はこの近似が妥当である。[ ^8]重心は、物体を構成する粒子の位置の特定の加重平均として定義できる。質量中心は各粒子の質量を平均するのに対し、重心は各粒子の重量を平均する。

${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {cg} }={\frac {1}{W}}\sum _{i}w_{i}\mathbf {r} _{i},}$

ここでwi_はi番目の粒子の（スカラー）重量であり、Wはすべての粒子の（スカラー）総重量である。^[9]この式は常に唯一の解を持ち、平行場近似ではトルク要件と互換性がある。^[10]

よくある例としては、地球の磁場の中にある月が挙げられます。加重平均の定義を用いると、月の重心は質量の中心よりも低く（地球に近い）、これは月の下部が地球の重力の影響をより強く受けるためです。^{[11]これにより、月は常に同じ面を見せるようになり、}潮汐ロックと呼ばれる現象が起こります。

外部重力場が球対称である場合、それは対称中心rにある質点Mの場と同等です。この場合、重心は、物体にかかる全力がニュートンの法則によって与えられる点として定義できます。

${\displaystyle {\frac {GmM(\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }-\mathbf {r} )}{|\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }-\mathbf {r } |^{3}}}=\mathbf {F} ,}$

ここで、Gは重力定数、m は物体の質量です。全力がゼロでない限り、この方程式は唯一の解を持ち、トルク要件を満たします。^[12]この定義の便利な点は、物体自体が球対称である場合、r _{cg がその質量の中心にあることです。一般に、} rと物体の間の距離が長くなるにつれて、重心は質量の中心に近づきます。^[13]

この定義を別の視点から見ると、物体の重力場を考慮すると、r _{cg は}rに位置する観測者にとって見かけの重力源となる。このため、r _{cg は点}rに対するM の重心と呼ばれることもある。^[7]

上記で定義した重心は、物体上の固定点ではなく、物体の位置や向きが変わると変化します。この特性により重心の扱いが難しくなり、この概念は実用性に乏しいです。^[14]

重力トルクを考慮する必要がある場合は、重力を質量中心に作用する力と方向に依存するカップルとして表す方が簡単です。^{[15]後者は、}重力ポテンシャルを場として扱うことによって最もよくアプローチされます。^[7]

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