良いカバー

数学において、位相空間の開被覆${\displaystyle X}$は、以下の条件を満たす開集合の族である。${\displaystyle X}$は、すべての開集合の和集合です。良い被覆とは、すべての集合と有限個の集合のすべての空でない共通部分が縮約可能であるような開被覆のことです（Petersen 2006 ）。

この概念は、1952年にアンドレ・ヴェイユによって微分可能多様体に対して導入され、${\displaystyle U_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}}}$微分可能縮約可能であること。 この定義の現代版は、Bott & Tu (1982)に掲載されている。

良い被覆という概念の主な理由は、ファイバー束のルレイ スペクトル系列が良い被覆に対して退化し、そのため良い被覆に関連付けられたチェフ コホモロジーが空間のチェフ コホモロジーと同じになるからである。（このような被覆はルレイ 被覆として知られている。）しかし、チェフ コホモロジーを計算する目的においては、有限個の開集合のすべての交差が可縮な連結成分を持つという、より緩やかな良い被覆の定義で十分である。これは、高階導来関手が非巡回分解を用いて計算できるという事実から導かれる。

球の二次元表面$\displaystyle S^{2}}$は、反対側の半球の開いた近傍である 2 つの縮約可能な集合によって開いた被覆を持つ。ただし、これら 2 つの集合は、縮約不可能な赤道帯を形成する交差部を持つ。この曲面の良い被覆を形成するには、少なくとも 4 つの開いた集合が必要である。良い被覆は、正四面体の面を、それが内接する球面に投影し、各面の開いた近傍を取ることによって形成できる。良い被覆のより緩やかな定義では、3 つの開いた集合のみを使用してこれを行うことができる。被覆は、球面上の 2 つの直径方向に対向する点を選択し、それらを結ぶ球面上にある 3 つの交差しない線分を描き、結果として得られる面の開いた近傍を取ることによって形成できる。

• ボット、ラウル；トゥー、ローリング（1982）、『代数トポロジーにおける微分形式』、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 0-387-90613-4、§5、S.42。
• Weil、Andre (1952)、「Sur les theoremes de de Rham」、Commentarii Math。ヘルブ。、26 : 119–145、土井: 10.1007/BF02564296、S2CID 124799328 
• Petersen, Peter (2006), Riemannian geometry , Graduate Texts in Mathematics, vol.  171 (2nd  ed.), New York: Springer, p.  383, ISBN 978-0387-29246-5MR 2243772​