近接セット

数学では、近い集合は空間的に近いか記述的に近いかのいずれかです。空間的に近い集合には、空でない交差があります。言い換えると、空間的に近い集合は、少なくとも 1 つの共通要素を常に持つため、互いに素な集合ではありません。記述的に近い集合には、一致する記述を持つ要素が含まれます。このような集合は、互いに素な集合でも互いに素でない集合でもかまいません。空間的に近い集合は、記述的に近い集合でもあります。

記述的に近い集合の基本的な前提は、そのような集合には位置と、色や出現頻度などの測定可能な特徴を持つ要素が含まれているということです。集合の要素の記述は、特徴ベクトルによって定義されます。特徴ベクトルの比較は、記述的に近い集合の近さを測定するための基礎となります。近集合理論は、空間的または記述的な近さに基づいて集合内の要素を観察、比較、分類するための正式な基礎となります。近集合は、画像処理、コンピューター ビジョン、エンジニアリングや科学の問題などの分野で生じる人間の知覚に基づく問題を解決するためのフレームワークを提供します。

近傍集合は、位相幾何学^[37]、パターン検出と分類^[50]、抽象代数^[51]、コンピュータサイエンスにおける数学^{[38] 、画像解析[54] [14] [46] [ 17] [} 18] 、画像処理^[40]、顔認識[ ^{13 ]、動物}行動学[64]などの分野で生じる人間の知覚に基づくさまざまな問題^{[42] [ 82 ] [ 47 ] [52] [56]の解決}、さらには工学や科学の問題[ ^{55] [64] [42] [19] [17] [18]など}の分野でさまざまな応用があります。記述的に近い集合は当初から、位相幾何学^[37]や視覚パターン認識^{[50]の応用において有用であることが証明されており、}カモフラージュ検出、微小古生物学、手書き偽造検出、生物医学画像分析、コンテンツベースの画像検索、人口動態、商位相幾何学、繊維デザイン、ビジュアルマーチャンダイジング、位相心理学など、幅広い応用分野にわたっています。

2つの集合間の記述的近さの度合いを示す例として、写真内の画素集合間の様々な近さの度合いを表すヘンリー色モデルの例を考えてみましょう（例えば、^[17] §4.3を参照）。図1と図2の2組の楕円には色付きのセグメントが含まれています。図の各セグメントは、クラス内のすべてのピクセルが同様の記述、つまり同様の色の画素を持つ同値クラスに対応しています。図1の楕円は、図2の楕円よりも記述的に近いです。

近接という単純な概念は、位相構造の様々な概念を統合することが観察されている^{[20] 。}これは、すべての近接空間と近接保存写像のカテゴリ Near が、カテゴリsTop (対称位相空間と連続写像^[3] )、Prox (近接空間と-写像^{[8] [67]} )、Unif (一様空間と一様連続写像^{[81] [77]} )、Cont (隣接空間と隣接写像^[24] ) を、埋め込まれた完全なサブカテゴリとして含むからである^{[20] [59]}。カテゴリと は、対称位相空間と連続写像のカテゴリ、拡張距離空間と非拡大写像のカテゴリなど、さまざまなよく知られたカテゴリの完全なスーパーカテゴリであることが示されています。カテゴリ という表記は、カテゴリがカテゴリ に埋め込まれていると読みます。カテゴリとカテゴリは、図3に示されているさまざまなよく知られたカテゴリ^[76]のスーパーカテゴリです。すべての-接近近接空間と収縮のカテゴリを表すものとし、すべての-接近メロトピック空間と収縮のカテゴリを表すものとします。 ${\displaystyle \delta}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {AMer}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {sTop}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {メット^{\infty }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\hookrightarrow {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\バレプシロン アメール}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon ANear}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle {\boldsymbol {\バレプシロン アメール}}}$${\displaystyle \epsilon }$

これらのよく知られたカテゴリには、 の対称形式（位相空間のカテゴリ を参照）、位相空間であるオブジェクトとそれらの間の連続写像である射を持つカテゴリ^{[1] [32]}があります。拡張された距離空間であるオブジェクトを持つ は、 （-接近空間と縮約を持つ）のサブカテゴリです（ ^{[57] [75]}も参照）。をそれぞれ空でない集合 上の拡張擬距離とします。写像が縮約であるためには、が縮約である必要があります。空でない部分集合 の場合、距離関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {sTop}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {トップ}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {メット^{\infty }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\バレプシロン AP}}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \rho _{X},\rho _{Y}}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle f:(X,\rho _{X})\longrightarrow (Y,\rho _{Y})}$${\displaystyle f:(X,\nu _{D_{\rho _{X}}})\longrightarrow (Y,\nu _{D_{\rho _{Y}}})}$${\displaystyle A,B\in 2^{X}}$${\displaystyle D_{\rho }:2^{X}\times 2^{X}\longrightarrow [0,\infty ]}$

${\displaystyle D_{\rho }(A,B)={\begin{cases}\inf {\{\rho (a,b):a\in A,b\in B\}},&{\text{if }}A{\text{ and }}B{\text{ are not empty}},\\\infty ,&{\text{if }}A{\text{ or }}B{\text{ is empty}}.\end{cases}}}$

したがって、AP は、およびによって定義される関数によってに完全なサブカテゴリとして埋め込まれます。したがって、が縮約である場合に限り、 は縮約です。したがって、 は、およびによって定義される関数によってに完全なサブカテゴリとして埋め込まれます。拡張された距離空間と非拡大写像のカテゴリは の完全なサブカテゴリであるため、 は の完全なスーパーカテゴリでもあります。カテゴリは位相的な構成物です^[76]。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\バレプシロン }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$${\displaystyle F:{\boldsymbol {\varepsilon {AP}}}\longrightarrow {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$${\displaystyle F((X,\rho ))=(X,\nu _{D_{\rho }})}$${\displaystyle F(f)=f}$${\displaystyle f:(X,\rho _{X})\longrightarrow (Y,\rho _{Y})}$${\displaystyle f:(X,\nu _{D_{\rho _{X}}})\longrightarrow (Y,\nu _{D_{\rho _{Y}}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {\バレプシロン {AP}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$${\displaystyle F:{\boldsymbol {\varepsilon {AP}}}\longrightarrow {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$${\displaystyle F((X,\rho ))=(X,\nu _{D_{\rho }})}$${\displaystyle F(f)=f.}$${\displaystyle {\boldsymbol {メット^{\infty }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\バレプシロン {AP}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {メット^{\infty }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$

数学における近いと遠いという概念^[A]は、ヨハン・ベネディクト・リスティングとフェリックス・ハウスドルフの著作に遡ることができます。類似性と相似性という関連する概念は、JHポアンカレに遡ることができます。彼は、GTフェヒナーの感覚感受性実験^[10]の結果を表すために類似した感覚の集合（新生許容クラス）と、代表空間における類似性を研究するための枠組みを、彼が物理的連続体^{[63] [60] [61]}と呼ぶもののモデルとして導入しました。物理的連続体（pc）の要素は、感覚の集合です。 pc の概念とさまざまな代表的空間 (触覚、視覚、運動空間) は、1894 年の数学的連続体に関する論文^[63]、1895 年の空間と幾何学に関する論文^[60]、および 1902 年の科学と仮説に関する大要の本^[61]でポアンカレによって導入され、その後、たとえば^[62]などの多くの詳細化が続きました。連続体に関する 1893 年と 1895 年の論文 (第 1 部、第 2 章) と代表的空間と幾何学に関する論文 (第 2 部、第 4 章) は、^{[61]に章として含まれています。その後、F. リースは 1908 年の}国際数学者会議(ICM)で集合のペアの近接性の概念を導入しました^[65]。

1960年代に、EC Zeeman は視覚知覚のモデル化に許容空間を導入しました^[83]。AB Sossinsky は1986年に^{[71] 、}許容空間理論の根底にある主要なアイデアはポアンカレ、特に^[60]に由来すると述べました。2002年に、Z. Pawlak と J. Peters ^[B]は、雪の結晶などの物理的オブジェクトの近さの知覚に対する、空間的な近さに限定されない非公式なアプローチを検討しました。2006年に、オブジェクトの記述的近さへの形式的なアプローチが、近接空間^{[39] [33] [35] [21]}のコンテキストでJ. Peters、A. Skowron、J. Stepaniuk ^{[C]によって検討されました。2007年に、J. Peters [D] [E]}によって記述的に近い集合が導入され、続いて許容近い集合が導入されました^{[41] [45]}。近年、記述的に近い集合の研究により、そのような集合の代数的^{[22] [51]}、位相的、近接空間的^[37]の基礎が確立されました。

近いセットの文脈における形容詞「近い」は、別個のオブジェクトの観測された特徴値の差が、区別できないほど小さい、つまり、ある許容範囲内であるという事実を表すために使用されます。

近さや「類似性」、あるいは「許容範囲内であること」という概念は、ほぼあらゆる数学的な設定においてごく自然に現れるほど普遍的です（例えば、^[66]を参照）。これは数学の応用においては特に自然です。実際の問題では、大抵の場合、近似入力データを扱い、許容できるレベルの誤差で実行可能な結果のみを必要とします^[71]。

近い、遠いという言葉は日常生活で使われており、これらの直感的な概念を厳密なものにすることはF. リース^[65]の鋭い示唆でした。リースは 1908 年にローマの国際数学者会議で集合のペアの近さという概念を導入しました。この概念は微積分学や高度な微積分の教え方を簡素化するのに役立ちます。たとえば、ある点における関数の連続性の直感的な定義から厳密なイプシロン-デルタ定義への移行は、教師が説明したり生徒が理解したりするのが難しい場合があります。直感的には、連続性は近接性言語を使用して説明できます。つまり、関数は点 で連続しており、近くの点 が近くの点 に入るという条件です。リースの考えを使用すると、この定義をより正確にすることができ、その対偶はよく知られている定義です^{[4] [36]}。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \{f(x)\}}$${\displaystyle f(c)}$

空間的な観点から見ると、近さ（または近接性）は集合の交差の一般化であると考えられます。非結合集合の場合、近接集合の交差の形式は、ある許容範囲内で類似した特徴を持つオブジェクト（非結合集合から抽出）の集合の観点から定義されます（たとえば、 ^[80]の§3を参照）。たとえば、図1の楕円は、類似した（視覚的に区別できない）色を表示するクラスのペアを含んでいるため、互いに近いと考えられます。

が1 つ以上の近接関係を備えた計量位相空間を表し、が のすべての部分集合の集合を表すものとします。この集合はの冪集合と呼ばれます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2^{X}}$${\displaystyle X}$

位相空間上のエフレモビッチ近接を定義する方法は多数ある（離散近接、標準近接、計量近接、チェフ近接、アレクサンドロフ近接、フロイデンタール近接）。詳細については、^[6]の§ 2、93～94 ページを参照。ここでは位相空間上の標準近接に焦点を当てる。 の場合、それらの閉包が共通点を共有している限り、 は近い（ と表記される）。${\displaystyle A,B\subset X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\ \delta \ B}$

部分集合の閉包（ と表記）は、§ 4、p. 20 ^[27]で導入された集合^[F]の通常のクラトフスキー閉包であり、次のように定義されます。 ${\displaystyle A\in 2^{X}}$${\displaystyle {\mbox{cl}}(A)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{cl}}(A)&=\left\{x\in X:D(x,A)=0\right\},\ {\mbox{where}}\\D(x,A)&=\inf \left\{d(x,a):a\in A\right\}.\end{aligned}}}$

すなわち、は、 と集合および（標準距離）の間のハウスドルフ距離（§ 22、p. 128、 ^[15]を参照）に近いすべての点の集合である。標準近接関係は次のよう に定義される。 ${\displaystyle {\mbox{cl}}(A)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D(x,A)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle d(x,a)=\left|xa\right|}$

${\displaystyle \delta =\left\{(A,B)\in 2^{X}\times 2^{X}:{\mbox{cl}}(A)\ \cap \ {\mbox{cl}}(B)\neq \emptyset \right\}.}$

集合とに共通点がない場合は、それらの集合は互いに離れています ( と表記)。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\ {\underline {\delta }}\ B}$

以下のEF近接^[G]空間公理は、1930年代前半にVadim Arsenyevič Efremovičが導入したもの ^[8]に基づいて、 Jurij Michailov Smirnov ^[67]によって与えられています。${\displaystyle A,B,E\in 2^{X}}$

EF.1

集合が に近い場合、 はに近くなります。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

EF.2

${\displaystyle A\cup B}$が に近い場合、かつその場合のみ、集合またはの少なくとも 1 つがに近いことになります。${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle E}$

EF.3

2 つの点が同じ点である場合に限り、それらの点は近いと言えます。

EF.4

すべての集合は空集合からは程遠い。${\displaystyle \emptyset}$

EF.5

互いに離れている任意の2 つの集合とに対して、 、 が存在し、はから離れており、 はから離れている(エフレモビッチ公理)。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C,D\in 2^{X}}$${\displaystyle C\cup D=X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle D}$

このペアはEF-近接空間と呼ばれます。この文脈では、空間は何らかの構造が追加された集合です。近接空間では、 の構造はEF-近接関係 によって誘導されます。近接空間では、におけるの閉包は、を含むすべての閉集合の共通部分と一致します。 ${\displaystyle (X,\delta )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$

定理1 ^[67]

近接空間内の任意の集合の閉包は、に近い点の集合です。${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A}$

集合 が図 5 の長方形領域内の点によって表されるとします。また、 が図 5 に示すように 内の任意の 2 つの非交差部分集合 (つまり、空間的に互いに離れた部分集合) であるとします。 を集合 の補集合とします。EF 公理から、次のことがわかります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{c}=X\backslash C}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}\mathrel {\underline {\delta }} B,\\B&\subset C,\\D&=C^{c},\\X&=D\cup C,\\A&\subset D,\ {\mbox{hence, we can write}}\\A\ {\underline {\delta }}\ B\ &\Rightarrow \ A\ {\underline {\delta }}\ C\ {\mbox{and}}\ B\ {\underline {\delta }}\ D,\ {\mbox{for some}}\ C,D\ {\mbox{in}}\ X{\mbox{ so that }}C\cup D=X.\qquad \blacksquare \end{aligned}}}$

記述的に近い集合は、互いに類似した互いに素な集合から生じる分類およびパターン認識問題を解決する手段として導入されました。^{[44] [43]} 最近では、EF空間の近い集合と記述的EF近接空間の近い集合の関係が研究されています。^{[53] [48]}

ここでも、を計量位相空間とし、各 の特徴を表すプローブ関数の集合を とします。ここでの仮定は、 には勾配方向などの測定可能な特徴を持つ非抽象的な点が含まれているというものです。非抽象的な点には、測定可能な位置と特徴があります（ ^[26]の§ 3を参照）。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \Phi =\left\{\phi _{1},\dots ,\phi _{n}\right\}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle X}$

プローブ関数は、 におけるサンプル点の特徴を表す。マッピングはによって定義され、ここで はn次元実ユークリッドベクトル空間である。 はの特徴ベクトルであり、 を記述する。例えば、これはデジタル画像内の画像点の集合の近似図につながる。^[48]${\displaystyle \phi :X\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Phi :X\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Phi (x)=(\phi _{1}(x),\dots ,\phi _{n}(x))}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in X}$

記述的近接関係（ と表記）を得るには、まずプローブ関数の集合を選択する。を のサブセットから のサブセットへの写像とする。例えば、と がそれぞれ内の点の記述集合を表すとする。つまり、 ${\displaystyle \delta _{\Phi }}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}:2^{X}\longrightarrow 2^{R^{n}}}$${\displaystyle 2^{X}}$${\displaystyle 2^{R^{n}}}$${\displaystyle A,B\in 2^{X}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}(A),{\mathcal {Q}}(B)}$${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Q}}(A)&=\left\{\Phi (a):a\in A\right\},\\{\mathcal {Q}}(B)&=\left\{\Phi (b):b\in B\right\}.\end{aligned}}}$

という表現は、記述的に に近いです。同様に、は記述的に から遠いです。と の記述的近接性は次のように定義されます。 ${\displaystyle A\mathrel {\delta _{\Phi }} B}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle A\mathrel {{\underline {\delta }}_{\Phi }} B}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\mathrel {\delta _{\Phi }} B\Leftrightarrow {\mathcal {Q}}({\mbox{cl}}(A))\mathrel {\delta } {\mathcal {Q}}({\mbox{cl}}(B))\neq \emptyset .}$

との記述的共通部分 は次のように定義される。 ${\displaystyle \mathop {\cap } _{\Phi }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\mathbin {\mathop {\cap } _{\Phi }} B=\left\{x\in A\cup B:{\mathcal {Q}}(A)\mathrel {\delta } {\mathcal {Q}}(B)\right\}.}$

つまり、は の中にあり、何らかの が与えられます。と は互いに素でありながら空でない可能性があることに注意してください。 ${\displaystyle x\in A\cup B}$${\displaystyle A\mathbin {\mathop {\cap } _{\Phi }} B}$${\displaystyle \Phi (x)=\Phi (a)=\Phi (b)}$${\displaystyle a\in A,b\in B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\mathbin {\mathop {\cap } _{\Phi }} B}$

記述的近接関係は次のように定義される。 ${\displaystyle \delta _{\Phi }}$

${\displaystyle \delta _{\Phi }=\left\{(A,B)\in 2^{X}\times 2^{X}:{\mbox{cl}}(A)\mathbin {\mathop {\cap } _{\Phi }} {\mbox{cl}}(B)\neq \emptyset \right\}.}$

集合とに記述が一致する点がない場合は、それらの集合は記述的に互いに離れています ( で示されます)。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\ {\underline {\delta }}_{\Phi }\ B}$

二項関係 は、に対して次の公理が満たされている場合、記述的な EF 近接性です。 ${\displaystyle \delta _{\Phi }}$${\displaystyle A,B,E\subset X}$

dEF.1

集合がに記述的に近い場合、 は に記述的に近いです。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

dEF.2

${\displaystyle A\cup B}$が に記述的に近い場合、かつその場合のみ、集合の少なくとも 1 つまたはが に記述的に近いことになります。${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle E}$

dEF.3

2 つの点が記述的に近いと判断されるのは、 の説明が の説明と一致する場合のみです。${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

dEF.4

すべての空でない集合は、記述的には空集合から遠い。${\displaystyle \emptyset }$

dEF.5

互いに記述的に離れている任意の2 つの集合とに対して、 、 が存在し、はから記述的に離れており、 はから記述的に離れている(記述的エフレモビッチ公理)。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C,D\in 2^{X}}$${\displaystyle C\cup D=X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle D}$

このペアは記述的近接空間と呼ばれます。 ${\displaystyle (X,\delta _{\Phi })}$

リレータは、空でない集合^[72]上の空でない関係の族である 。 ペア( とも表記) はリレータ空間と呼ばれる。 リレータ空間は、順序付き集合と一様空間の自然な一般化である。^{[73] [74]}上の近接関係の族を導入することにより、近似リレータ空間 が得られる。 簡単にするために、記述リレータ を定義する際には、エフレモビッチ近接^[8]と記述近接の2 つの近接関係のみを考慮する。^{[53] [48]}ペアは近似リレータ空間^[49]と呼ばれる。 本研究では、 は、近似リレータ内の関係が備わっている計量位相空間を表す。 の導入により、部分集合の従来の閉包 (例、^{[9] [7]} ) を、より最近の部分集合の記述閉包と比較することができる。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,{\mathcal {R}})}$${\displaystyle X({\mathcal {R}})}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta })}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta _{\Phi }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }}}$${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})}$

近接関係空間において、集合（ と表記）の記述閉包は次のように定義される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mbox{cl}}_{\Phi }(A)}$

${\displaystyle {\mbox{cl}}_{\Phi }(A)=\left\{x\in X:{\Phi (x)}\mathrel {\delta } {\mathcal {Q}}({\mbox{cl}}(A))\right\}.}$

つまり、の閉包と の閉包が少なくとも 1 つの要素を共通に持つ 場合、は の記述閉包内にあります。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}({\mbox{cl}}(A))}$

定理2 ^[50]

記述的 EF 近接空間内の任意の集合の記述的閉包は、記述的に近い点の集合です。${\displaystyle A}$${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A}$

定理3 ^[50]

集合の Kuratowski 閉包は、記述的 EF 近接空間における の記述的閉包のサブセットです。${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

定理4 ^[49]

を近似関係空間とします。このとき、 となります。${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})}$${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle {\mbox{cl}}(A)\subseteq {\mbox{cl}}_{\Phi }(A)}$

証拠

ある に対してとなるような とします。したがって、となります。したがって、${\displaystyle \Phi (x)\in {\mathcal {Q}}(X\setminus {\mbox{cl}}(A))}$${\displaystyle \Phi (x)=\Phi (a)}$${\displaystyle a\in {\mbox{cl}}A}$${\displaystyle \Phi (x)\in {\mathcal {Q}}({\mbox{cl}}_{\Phi }(A))}$${\displaystyle {\mbox{cl}}(A)\subseteq {\mbox{cl}}_{\Phi }(A)}$

近接関係空間では、EF近接性により記述的近接性について次の結果が得られます。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta _{\Phi }}$

定理5 ^[49]

を近似関係空間とする。すると 、${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})}$${\displaystyle A,B,C\subset X}$

1°

${\displaystyle A\ \delta \ B\ {\mbox{implies}}\ A\ \delta _{\Phi }\ B}$。

2°

${\displaystyle (A\cup B)\ \delta \ C\ {\mbox{implies}}\ (A\cup B)\ \delta _{\Phi }\ C}$。

3°

${\displaystyle {\mbox{cl}}A\ \delta \ {\mbox{cl}}B\ {\mbox{implies}}\ {\mbox{cl}}A\ \delta _{\Phi }\ {\mbox{cl}}B}$。

証拠

1°

${\displaystyle A\ \delta \ B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset }$.および. したがって、.${\displaystyle x\in A\cap B,\Phi (x)\in {\mathcal {Q}}(A)}$${\displaystyle \Phi (x)\in {\mathcal {Q}}(B)}$${\displaystyle A\ \delta _{\Phi }\ B}$

1° ⇒ 2°

3°

${\displaystyle {\mbox{cl}}A\ \delta \ {\mbox{cl}}B}$は、 と が少なくとも 1 つの共通点を持つことを意味します。したがって、1° ⇒ 3° です。${\displaystyle {\mbox{cl}}A}$${\displaystyle {\mbox{cl}}A}$

${\displaystyle \qquad \blacksquare }$

擬似計量近似関係空間において、点（ と表記）の近傍は、 に対して、次のように定義される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle N_{x,\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle N_{x,\varepsilon }=\left\{y\in X:d(x,y)<\varepsilon \right\}.}$

近接関係空間における集合の内部（ と表記）と境界（ と表記）は次のように定義される。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mbox{int}}(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mbox{bdy}}(A)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{int}}(A)&=\left\{x\in X:N_{x,\varepsilon }\subseteq A\right\}.\\{\mbox{bdy}}(A)&={\mbox{cl}}(A)\setminus {\mbox{int}}(A).\end{aligned}}}$

集合は、 （と表記）に関連付けられ^た集合に^自然に強い包含を持ちます。ただし、が の補集合から遠いことが条件です。同様に、集合は、（ と表記）に関連付けられた集合に記述的な強い包含を持ちます。ただし、がの補集合から遠いことが条件です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle A\ll _{\delta }B}$${\displaystyle A\subset {\mbox{int}}(B)}$${\displaystyle A\mathrel {\underline {\delta }} X\setminus {\mbox{int}}(B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mbox{int}}(B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \delta _{\Phi }}$${\displaystyle A\mathrel {\mathop {\ll } _{\Phi }} B}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}(A)\subset \ {\mathcal {Q}}({\mbox{int}}(B))}$${\displaystyle A\ {\underline {\delta }}_{\Phi }\ X\setminus {\mbox{int}}(B)}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}(A)}$${\displaystyle {\mbox{int}}B}$

を次のように定義される記述的-近傍関係 とする。${\displaystyle \mathop {\ll } _{\Phi }}$${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \mathop {\ll } _{\Phi }=\left\{(A,B)\in 2^{X}\times 2^{X}:{\mathcal {Q}}(A)\subset {\mathcal {Q}}({\mbox{int}}(B))\right\}.}$

つまり、各 の記述が点 の記述の集合に含まれていると仮定します。ここで、 が隣接関係空間にある場合、は互いに素な -近傍を持つことに注意してください。つまり、 ${\displaystyle A\mathrel {\mathop {\ll } _{\Phi }} B}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in {\mbox{int}}(B)}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\mathrel {{\underline {\delta }}_{\Phi }} B}$${\displaystyle \delta _{\Phi }}$

${\displaystyle A\mathrel {{\underline {\delta }}_{\Phi }} B\Leftrightarrow A\mathrel {\mathop {\ll } _{\Phi }} E1,B\mathrel {\mathop {\ll } _{\Phi }} E2,\ {\mbox{for some}}\ E1,E2\subset X\ {\mbox{(See Fig. 6).}}}$

定理6 ^[50]

記述的に互いに離れている任意の 2 つの集合は、記述的近接空間内の互いに素な記述的近傍に属します。${\displaystyle \delta _{\Phi }}$${\displaystyle X}$

空でない集合が他の集合に強く包含されることを考慮すると、ヒットアンドミス位相とウィズマン位相の研究につながる。^[2]

を0より大きい実数とする。ある許容範囲内で近接している集合の研究では、近接関係の集合は擬似距離許容近接関係（ と表記） によって拡張され、次のように定義される。${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }}}$${\displaystyle \delta _{\Phi ,\varepsilon }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\Phi }(A,B)&=\inf \left\{d(\Phi (a),\Phi (a)):\Phi (a)\in {\mathcal {Q}}(A),\Phi (a)\in {\mathcal {Q}}(B)\right\},\\d(\Phi (a),\Phi (a))&=\mathop {\sum } _{i=1}^{n}|\phi _{i}(a)-\phi _{i}(b)|,\\\delta _{\Phi ,\varepsilon }&=\left\{(A,B)\in 2^{X}\times 2^{X}:|D({\mbox{cl}}(A),{\mbox{cl}}(B))|<\varepsilon \right\}.\end{aligned}}}$

とする。言い換えれば、近接関係子を備えた空でない集合は、近接関係子によって提供される基礎構造を持ち、ある許容範囲内で近い における許容近傍集合の研究の基礎を提供する。記述的擬似計量近接関係子空間内の集合は、許容近傍集合（すなわち）であり、 ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi ,\varepsilon }}={\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }}\cup \left\{\delta _{\Phi ,\varepsilon }\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi ,\varepsilon }}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi ,\varepsilon }})}$${\displaystyle A\ \delta _{\Phi ,\varepsilon }\ B}$

${\displaystyle D_{\Phi }(A,B)<\varepsilon .}$

^{ポアンカレ[62]}によって考えられた感覚の相似関係と同じ形式的性質を持つ関係は、今日ではゼーマン^[83]に倣って、許容関係と呼ばれています。集合上の許容は${\displaystyle \tau }$${\displaystyle O}$、反射的かつ対称的な関係です。代数学では、許容関係という用語は、与えられた代数の演算とも互換性のある代数の宇宙上で定義された反射的かつ対称的な関係を表すためにも狭義に使用されます。つまり、それらは合同関係の一般化です (例えば、^[12]を参照)。このような関係を指す場合、代数的許容または代数的許容関係という用語が使用されます。推移的許容関係は同値関係です。許容を伴う集合は、許容空間( と表記)と呼ばれます。 集合が-前クラス(または が理解されている場合は簡単に前クラス)であるための必要十分条件は、任意の に対して である場合です。${\displaystyle \tau \subseteq O\times O}$${\displaystyle O}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (O,\tau )}$${\displaystyle A\subseteq O}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle x,y\in A}$${\displaystyle (x,y)\in \tau }$

許容空間のすべての前クラスの族は自然に集合包含によって順序付けられ、集合包含に関して最大​​の前クラスは、が理解されるときは-クラスまたは単にクラスと呼ばれます。空間のすべてのクラスの族は特に興味深く、 と表記されます。族は^[58]の被覆です。 ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (O,\tau )}$${\displaystyle H_{\tau }(O)}$${\displaystyle H_{\tau }(O)}$${\displaystyle O}$

ポアンカレとゼーマンによる類似性に関する研究は、近傍集合^{[44] [43]}や類似性関係の研究、例えば[ ^79]の導入の前兆となる。科学と工学において、許容近傍集合は、ある許容範囲内で近い集合の研究の実際的な応用である。許容範囲は、物体を比較する際の近さや類似性 (すなわち、ある許容範囲内であること)という概念に直接関係している。視覚空間を定義するポアンカレのアプローチと許容関係に対するゼーマンのアプローチを応用した基本的な考え方は、デジタル画像の内部にある画像パッチなどの物体を比較するというものである。 ${\displaystyle \varepsilon \in (0,\infty ]}$

簡単な例

次の簡単な例は、実際のデータから許容クラスを構築する方法を示しています。以下の表の 20 個のオブジェクトを検討します。 ${\displaystyle |\Phi |=1}$

許容関係を次のように定義する。

${\displaystyle \cong _{\varepsilon }{}\Leftrightarrow \{(x,y)\in O\times O:\;\parallel \Phi (x)-\Phi (y)\parallel _{_{2}}\leq \varepsilon \}}$

次に、設定により次の許容クラスが与えられます。 ${\displaystyle \varepsilon =0.1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\cong _{\varepsilon }}(O)={}&\{\{x_{1},x_{8},x_{10},x_{11}\},\{x_{1},x_{9},x_{10},x_{11},x_{14}\},\\&\{x_{2},x_{7},x_{18},x_{19}\},\\&\{x_{3},x_{12},x_{17}\},\\&\{x_{4},x_{13},x_{20}\},\{x_{4},x_{18}\},\\&\{x_{5},x_{6},x_{15},x_{16}\},\{x_{5},x_{6},x_{15},x_{20}\},\\&\{x_{6},x_{13},x_{20}\}\}.\end{aligned}}}$

許容クラス内の各オブジェクトが条件を満たし、ほぼすべてのオブジェクトが複数のクラスに出現することに注目してください。さらに、識別不可能な関係が使用される場合、説明が一致する 2 つのオブジェクトは存在しないため、クラスは 20 になります。 ${\displaystyle \parallel \Phi (x)-\Phi (y)\parallel _{2}\leq \varepsilon }$

画像処理例

次の例は、デジタル画像に基づく例を示しています。サブイメージは、デジタル画像に属するピクセルの小さなサブセットとして定義され、サブイメージに含まれるピクセルは正方形を形成します。次に、セットとがそれぞれ 2 つの異なる画像から取得されたサブイメージを表すものとし、とします。最後に、オブジェクトの記述がRGB カラー モデルの緑の要素によって与えられるものとします。次の手順は、前の例で定義した許容関係を使用して、すべての許容クラスを見つけることです。この情報を使用して、RGB カラー モデルの緑の要素について類似した (ある程度の小さな 以内) 値を持つオブジェクトを含む許容クラスを形成できます。さらに、互いに近い (類似している) 画像は、両方の画像間で許容クラスを分割する必要があります (許容クラスが 1 つの画像だけに含まれるのではなく)。たとえば、この例に付随する図は、2 つの葉の画像から取得された許容クラスのサブセットを示しています。この図では、各許容クラスに別の色が割り当てられています。見てのとおり、2 つの葉は同様の許容クラスを共有しています。この例では、2 つのセットの近さの度合いを測定する必要性が強調されています。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle O=\{X\cup Y\}}$${\displaystyle \varepsilon }$

近接関係と非空集合とプローブの集合とによって定義される許容関係を備えた特定の記述的擬似距離EF近接関係空間を とすると、 となる。ここで${\displaystyle (U,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi ,\varepsilon }})}$${\displaystyle \delta _{\Phi ,\varepsilon }}$${\displaystyle X,Y\in 2^{U}}$${\displaystyle \cong _{\Phi ,\varepsilon }}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \varepsilon \in (0,\infty ]}$

${\displaystyle \simeq _{\Phi ,\varepsilon }=\{(x,y)\in U\times U\mid \ |\Phi (x)-\Phi (y)|\leq \varepsilon \}.}$

さらに、 を仮定し、 が空間内のすべてのクラスの族を表すものとします。 ${\displaystyle Z=X\cup Y}$${\displaystyle H_{\tau _{\Phi ,\varepsilon }}(Z)}$${\displaystyle (Z,\simeq _{\Phi ,\varepsilon })}$

とします。距離は次のように定義されます 。${\displaystyle A\subseteq X,B\subseteq Y}$${\displaystyle D_{_{tNM}}:2^{U}\times 2^{U}:\longrightarrow [0,\infty ]}$

${\displaystyle D_{_{tNM}}(X,Y)={\begin{cases}1-tNM(A,B),&{\mbox{if }}X{\mbox{ and }}Y{\mbox{ are not empty}},\\\infty ,&{\mbox{if }}X{\mbox{ or }}Y{\mbox{ is empty}},\end{cases}}}$

どこ

${\displaystyle tNM(A,B)={\Biggl (}\sum _{C\in H_{\tau _{\Phi ,\varepsilon }}(Z)}|C|{\Biggr )}^{-1}\cdot \sum _{C\in H_{\tau _{\Phi ,\varepsilon }}(Z)}|C|{\frac {\min(|C\cap A|,|[C\cap B|)}{\max(|C\cap A|,|C\cap B|)}}.}$

に関する詳細は^{[14] [16] [17]}に記載されています。背後にある考え方は、類似したセットは各許容クラス内のオブジェクトの数が類似している必要があるというものです。したがって、 の被覆から得られる各許容クラスについて、 はおよびに属するオブジェクトの数を数え、それらの基数の比率を（適切な分数として）取ります。さらに、各比率は許容クラスの合計サイズによって重み付けされ（したがって、より大きなクラスが重要になります）、最終結果はすべての基数の合計で割ることによって正規化されます。 の範囲は[0,1] の区間にあり、セットが同等である場合（オブジェクトの説明に基づく）値 1 が得られ、共通の説明がない場合は値 0 が得られます。 ${\displaystyle tNM}$${\displaystyle tNM}$${\displaystyle Z=X\cup Y}$${\displaystyle tNM}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle tNM}$

2 つのセット間の近さの程度の例として、各画像が 2 セットのオブジェクトと で構成されている以下の図を考えてみましょう。図の各色は、クラス内のすべてのオブジェクトが同じ説明を共有するセットに対応しています。背後にある考え方は、知覚システム内のセットの近さは、それらが共有する許容クラスの濃度に基づいているということです。したがって、図の左側のセットは、説明の点で、図の右側のセットよりも互いに近くなっています (より近い)。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle tNM}$

近似集合評価および認識 (NEAR) システムは、近似集合理論を画像セグメンテーション評価および画像対応の問題に実際的に適用できることを実証するために開発されたシステムです。このシステムは、研究に結果を提供し、近似集合理論への関心を高めることができる、無料で利用できるソフトウェア ツールの必要性から生まれました。このシステムは、各個別の処理タスクが独自の子フレームで実行されるマルチ ドキュメント インターフェイス (MDI) を実装しています。このシステム内のオブジェクト (近似集合の意味で) は、処理中の画像のサブイメージであり、プローブ関数 (機能) はサブイメージで定義された画像処理関数です。このシステムは C++ で記述されており、新しい処理タスクとプローブ関数の追加を容易にするように設計されています。現在、このシステムは、画像の同等性と許容クラスの表示、セグメンテーション評価の実行、2 つの画像の近さの測定、コンテンツ ベース画像検索 (CBIR) の実行、および特定のプローブ関数を使用した画像処理の出力の表示という 6 つの主要なタスクを実行します。

近接システムは、デジタル画像分析のコンテキスト内での近さと近接性に対する記述ベースの位相的アプローチを実証するために開発されたアプリケーションです。近接システムは、位相空間に関する S. Naimpally と J. Peters の研究から生まれました。近接システムは Java で記述されており、2 つの異なるオペレーティング環境、つまり Android スマートフォンとタブレット、および Java 仮想マシンを実行するデスクトップ プラットフォームで実行することを目的としています。デスクトップ環境に関しては、近接システムは Windows、OSX、および Linux システム用のクロスプラットフォーム Java アプリケーションであり、Sun Java 6 ランタイムを使用して Windows 7 および Debian Linux でテストされています。理論的アプローチの実装に関しては、Android ベースとデスクトップ ベースのアプリケーションの両方で、記述ベースの計算を実行するために同じバックエンド ライブラリが使用されています。唯一の違いはユーザー インターフェイスであり、Android バージョンではシステム リソースの制限により利用できる機能が少なくなっています。