ネイピアの骨

ネイピアの骨は、スコットランドのマーキストンのジョン・ネイピアが数値の積と商を計算するために作成した手動の計算機です。この方法は格子乗算に基づいており、ネイピアが考案した言葉にちなんでラブドロジーとも呼ばれています。ネイピアは1617年に彼のバージョンを出版しました。^[1]これはエディンバラで印刷され、彼のパトロンであるアレクサンダー・シートンに捧げられました。

棒に埋め込まれた九九表を使用すると、掛け算を加算​​に、割り算を減算に簡略化できます。棒を高度に使用すると、平方根を抽出できます。ネイピアの骨は、ネイピアの名前にも関連している対数とは異なりますが、解剖された九九表に基づいています。

完成した装置には通常、縁の付いたベースボードが含まれます。ユーザーは、ネイピアの棒と縁を置いて掛け算や割り算を行います。ボードの左端は 9 つの正方形に分割され、1 から 9 までの数字が記されています。ネイピアの元の設計では、棒は金属、木、または象牙で作られており、断面は正方形です。各棒の 4 つの面にはそれぞれ掛け算の表が刻まれています。後の設計では、棒は平らで、2 つの表または 1 つの表のみが刻まれており、プラスチック製または厚手のボール紙で作られています。このような骨のセットは、キャリングケースに収められている場合もあります。

棒の表面には 9 つの正方形が描かれています。最上部を除く各正方形は、左下隅から右上隅までの対角線によって2 つに分割されています。正方形には簡単な掛け算表が書かれています。最初の正方形には 1 つの数字が書かれており、ネイピアはこれを「単数」と呼びました。他の正方形にはその 1 つの数字の倍数、つまり 1 つの数字の 2 倍、1 つの数字の 3 倍などがあり、9 番目の正方形には一番上の正方形の数字の 9 倍が含まれます。1 桁の数字は右下の三角形に書かれ、もう一方の三角形は空白のままですが、2 桁の数字は対角線の両側に数字が書かれます。

表を片面の棒に載せる場合、4桁の数字を掛け算するには40本の棒が必要です。数字には同じ数字が重なることがあるため、0から9までの各数字の掛け算表を4部ずつ用意する必要があります。四角い棒を使用する場合は、40個の掛け算表を10本の棒に刻み込むことができます。ネイピアは、どの棒にも同じ表が2つないように表を配置するスキームの詳細を示しており、これにより、考えられるすべての4桁の数字を10本の棒のうち4本で表すことができます。ネイピアの10本の棒の同一コピーを2つずつ含む20本の棒のセットを使用すると、最大8桁の数字の計算が可能になり、30本の棒のセットを使用すると12桁の数字を計算できます。

最も単純な掛け算、つまり複数桁の数と 1 桁の数の掛け算は、フレーム内の複数桁の数を表す棒を左端に配置することによって行われます。答えは、フレームの左側にマークされた 1 桁の数に対応する行から読み取られ、以下の例で説明するように、少しの加算が必要です。

複数桁の数字を別の複数桁の数字で乗算する場合、大きい方の数字をフレームの棒の上に置きます。小さい方の数字の各桁を乗算する装置によって中間結果が生成されます。これらを書き留め、最終結果をペンと紙で計算します。

ネイピアの骨を掛け算にどのように使用するかを示すために、難易度が上がっていく 3 つの例を以下に説明します。

最初の例では425 × 6を計算します。

ネイピアの 4、2、5 の骨が、順番にボードに配置されます。これらの骨は、掛け算される大きい数字を示します。各列、つまり骨の下の数字は、対応する整数の通常の掛け算表で見つかる数字で、対角線の上下に配置されています。(たとえば、4 の骨の 7 行目に示されている数字は2 ⁄ 8で、7 × 4 = 28を表しています。) 以下の425 × 6の例では、骨は赤 (4)、黄 (2)、青 (5) で示されています。

色分けされた骨の前の左端の列は、1 番目の骨を表していると考えられます。(各数字の左上には、斜めの線で区切られた空白またはゼロがあることを理解する必要があります。これは、1 × 1 = 01、1 × 2 = 02、1 x 3 = 03などであるためです。) 通常は 2 から 9 までの小さい数が選択され、それが大きい数に掛けられます。この例では、大きい数に掛ける小さい数は 6 です。この数が表示されている水平の行は、残りの計算を実行するために必要な唯一の行であり、これで単独で表示できます。

計算では、垂直線で区切られた数字 (つまり、1 つの骨から次の骨に渡る対角線の間にある数字) が加算されて積の数字が形成されます。その行の最後の (右端の) 数字は、最後の対角線で常に分離されているため、加算する必要はなく、常に積の最後の数字になります。この例では、対角線の間に 4 つの骨の値のグループがあるため、数字は 4 つあります。積の数字は、左から右に計算された順序になります。最初と最後の数字を除き、積の数字はそれぞれ、2 つの異なる骨から取得した 2 つの値の合計になります。

前述のように、骨の値を足し合わせて積の桁を求めます。この図では、黄色と青の骨の 3 番目の積の桁の値は緑色で表示されています。それぞれの合計は下のスペースに記入します。左から右への合計の順序は 2550 という数字になります。したがって、425 を 6 で乗算した答えは 2550 です。

より大きな一桁の数字を掛け合わせる場合、対角の列を加算すると、数字の合計が 10 以上になることがよくあります。

2番目の例では、6785 × 8を計算します。

例 1 と同様に、最も大きい数字に対応するボーンがボード内に配置されます。この例では、ボーン 6、7、8、5 が以下に示すように適切な順序で配置されています。

最初の列には、最大の数字に掛ける数字が記されています。この例では、その数字は 8 でした。残りの計算には 8 行目のみを使用するため、残りの手順をわかりやすく説明するために、ボードの残りの部分は空けられています。

これまでと同様に、各対角列は右側から順に評価されます。対角列の合計が 10 以上の場合、この合計の 10 の位は繰り越され、以下に示すように隣接する左の列の数字と加算されます。

各対角列が評価された後、計算された数値が左から右に読み取られ、最終的な答えが生成されます。この例では、54280 が生成されました。

したがって、6785 を 8 倍すると 54280 になります。

3番目の例では、825 × 913を計算します。

先頭の数字に対応する骨がボード内に配置されます。この例では、骨 8、2、5 が以下に示すように適切な順序で配置されています。

複数桁の数字を掛け算するには、複数の行を確認します。この例では、わかりやすくするために、ボードから 9、1、3 の行を削除しています。

各行は個別に評価され、各対角列は前の例で説明したように加算されます。合計は左から右に読み取られ、その後の長手加算計算に必要な数値が生成されます。この例では、行 9、行 1、行 3 が個別に評価され、以下に示す結果が生成されました。

2 番目の数字の右端の桁から始めて、合計は、プレースホルダーとして 0 を使用しながら、右から左に見える順番に行から互いの下に配置されます。

   2475 
   825 0
  7425 00

行とプレースホルダーが合計され、最終的な答えが生成されます。

    2475
    8250
+ 742500 
  753225

この例では、最終的な答えは 753225 でした。したがって、825 に 913 を掛けた結果は 753225 です。

割り算も同様の方法で行います。46785399 を 96431 で割るには、次の図に示すように、除数 (96431) のバーを算盤上に置きます。そろばんを使用して、表示されている数字を読み取ることで、除数 1 から 9 までの積をすべて求めます。被除数は 8 桁であるのに対し、部分積 (最初の 1 つを除く) はすべて 6 桁であることに注意してください。したがって、46785399 の最後の 2 桁、つまり「99」は一時的に無視され、467853 という数字が残ります。次に、切り捨てられた被除数よりも小さい最大の部分積を求めます。この場合は 385724 です。図に示すように、2 つのことを書き留める必要があります。385724 はそろばんの「4」の行にあるため、商の左端の桁として「4」を書き留めます。部分積も左揃えで元の被除数の下に書き込まれます。2 つの項が減算され、8212999 になります。同じ手順が繰り返されます。つまり、数値は 6 桁に切り捨てられ、切り捨てられた数値よりすぐ小さい部分積が選択され、行番号が商の次の桁として書き込まれ、最初の繰り返しで見つかった差から部分積が減算されます。このプロセスは図に示されています。減算の結果が除数より小さくなるまで、サイクルが繰り返されます。残った数が余りです。

この例では、商は485、余りは16364です。通常、このプロセスはここで終了し、答えは分数形式485を使用します。+16364/96431⁠ .

より正確に計算するために、必要な小数点以下の桁数を見つけるまでこのサイクルを続けます。商の最後の桁の後に小数点を付け、余りにゼロを追加して 163640 にします。このサイクルを続けて、減算後に毎回結果にゼロを追加します。

平方根を抽出するには、他のボーンとは違い、3 つの列を持つ追加のボーンを使用します。最初の列には最初の 9 つの平方数、2 番目の列には最初の 9 つの偶数、最後の列には 1 から 9 までの数字が含まれます。

46785399 の平方根を求めるには、数字を右から 2 ずつグループ化して、次のようになります。

46 78 53 99

注: 85399 のような奇数の桁数の数字は、08 53 99としてグループ化されます。

最初に一番左のグループが選択されます。この場合は 46です。平方根の骨の 46 未満の最大の正方形が選択されます。これは 6 行目の 36 です。6 行目が選択されたため、解の最初の数字は 6 です。

次に、平方根骨の6行目から2列目の数字「12」をボードに設定します。

6 行目の最初の列の値 36 を 46 から減算すると、10 が残ります。

次の数字のグループである 78 を 10 の次に加算すると、余りは 1078 になります。

この段階では、ボードと中間計算は次のようになります。

各行の数字は、平方根骨から 2 列目と 3 列目を無視して「読み取られます」。これらは記録されます。(たとえば、6 行目は次のように読み取られます: 0 ⁄ 6 1 ⁄ 2 3 ⁄ 6 → 756 )。

前述の掛け算と同様に、数字は右から左に読み、右上から左下に対角の数字を加算します ( 6 + 0 = 6、3 + 2 = 5、1 + 6 = 7 )。

現在の余り 1078 (8 行目) より小さい最大の数が見つかります。

前と同様に、平方根の次の桁を取得するために 8 が追加され、8 行目の値 1024 が現在の剰余 1078 から減算されて 54 が得られます。平方根ボーンの 8 行目の 2 番目の列 16 が読み取られ、その数字が次のようにボードに設定されます。

ボード上の現在の数字は 12 です。16 の最初の桁が 12 に加算され、その結果に 16 の 2 番目の桁が追加されます。したがって、ボードは次のように設定する必要があります。

12 + 1 = 13 → 6 を加える → 136

注:平方根ボーンの 2 番目の列に数字が 1 つしかない場合は、ボード上の現在の数字に追加されます。

ボードと中間計算は次のようになります。

もう一度、現在の部分剰余 5453 よ​​り小さい最大値を持つ行が見つかります。今回は、4089 の 3 行目です。

平方根の次の桁は 3 です。前と同じ手順を繰り返し、現在の余り 5453 から 4089 を減算して、次の余り 1364 を取得します。ボードを再配置すると、平方根の骨の 2 番目の列は 6 で、1 桁です。したがって、ボード上の現在の数字 136 に 6 が追加され、ボード上には 1366 が残ります。

136 → 追加6 → 1366

このプロセスが再度繰り返されます。現在、ボード上で現在の余り 136499 より小さい最大の値は、9 行目の 123021 です。

答えを得るために、各行の値を見つける必要はほとんどありません。最初の数個の骨の数字を見て、残りの最初の数桁と比較することで、答えのある行を推測できます。ただし、図では理解しやすいようにすべての行の値を示しています。

結果に 9 が追加され、現在の余りから 123021 が減算されます。

すべての桁が使用され、余りが残っている場合、整数部分は解決されますが、小数ビットはまだ見つける必要があります。

整数部分を解くと、現在の結果の二乗 ( 6839 ² = 46771921 ) は、46785899 より小さい最大の完全平方数になります。

このアイデアは、後でこのテクニックがどのように機能するかを理解するために使用されますが、さらに多くの数字を生成することができます。

長除算で小数部分を求めるのと同様に、剰余に 2 つのゼロが追加され、新しい剰余 1347800 が得られます。平方根ボーンの 9 行目の 2 列目は 18 で、ボード上の現在の数字は 1366 です。

1366 + 1 → 1367 → 8を追加 → 13678

ボード上に 13678 を設定するように計算されます。

ボードと中間計算は次のようになります。

9 行目の 1231101 は余りより小さい最大の値なので、平方根の小数部の最初の桁は 9 になります。

9行目の値が余りから減算され、さらにいくつかのゼロが追加されて、新しい余り11669900が得られます。9行目の2列目は18で、ボードには13678があります。

13678 + 1 → 13679 → 8を追加 → 136798

ボード上に 136798 を設定するように計算されます。

必要な桁数まで手順を続行し、必要な精度が達成されたかどうかを確認します。余りがゼロになった場合、正確な平方根が見つかったことを意味します。

必要な桁数がわかれば、切り上げが必要かどうか、つまり最後の桁を変更するかどうかは簡単に判断できます。5 以上かどうかを確認するために別の桁を探す必要はありません。ルートに 25 を追加し、余りと比較します。余り以下の場合は、次の桁が少なくとも 5 になるため、切り上げが必要になります。上記の例では、6839925 は 11669900 より小さいため、ルートを 6840.0 に切り上げる必要があります。

整数ではない数値、たとえば 54782.917 の平方根を求める場合、小数点の左側と右側の数字が 2 ずつグループ化される点を除いて、すべて同じです。

したがって54782.917は次のように分類されます

05 47 82.91 70

次に、前述のプロセスを使用して平方根を見つけることができます。

19 世紀に、ネイピアの骨記法は読みやすくするために変更されました。棒は約 65 度の角度で作られ、追加する必要のある三角形が一列に並ぶようになりました。この場合、棒の各四角形において、1 は右側、10 (または 0) は左側にあります。

棒は、棒が接する線よりも垂直線と水平線が目立つように作られており、結果の各桁の 2 つの要素が読みやすくなります。したがって、図では次のことがすぐにわかります。

987654321 × 5 = 4938271605

1891年、アンリ・ジュナイユはネイピアの骨の変種を発明し、ジュナイユ・ルーカス定規として知られるようになった。繰り上がりをグラフで表すことで、単純な掛け算の問題の結果を、中間の暗算をすることなく直接読み取ることができる。^[2]

次の例では、52749 × 4 = 210996を計算します。

• スライド計算機
• ジュナイユ・リュカ朝
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• 計算尺

• ウィキメディア・コモンズにあるネイピアの骨に関するメディア
• Wolfram cut-the-knotでのさまざまな数体系におけるネイピア骨のデモンストレーション実装
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