住宅ローン計算機

住宅ローン計算機は、住宅ローン融資契約における1つまたは複数の変数の変化が財務に与える影響をユーザーが判断できるようにする自動化ツールです。住宅ローン計算機は、消費者が月々の返済額を決定するために、また住宅ローン提供者が住宅ローン申請者の財務適合性を判断するために使用されています。 ^[2]住宅ローン計算機は営利目的のウェブサイトによく掲載されていますが、消費者金融保護局は独自の公開住宅ローン計算機を立ち上げています。^{[3] : 1267, 1281–83}

住宅ローンの計算における主な変数には、ローンの元金、残高、定期的な複利率、年間の支払い回数、支払いの合計回数、定期的な支払い額などがあります。より複雑な計算では、地方税や州税、保険など、住宅ローンに関連するその他の費用も考慮されます。

住宅ローン計算機能は、 HP-12CやTexas Instruments TI BA II Plusなどの金融ハンドヘルド計算機に搭載されています。また、オンラインの無料住宅ローン計算機や、金融および住宅ローン計算を提供するソフトウェア プログラムも多数あります。

新しい家を購入する際、ほとんどの購入者は住宅ローンを利用して購入価格の一部を融資することを選択します。住宅ローン計算機が広く利用できるようになる前は、住宅ローン取引における 5 つの主な変数の変化が財務に与える影響を理解したい人は、複利率表を使用するしかありませんでした。これらの表を適切に使用するには、通常、複利の数学の実用的な理解が必要でした。対照的に、住宅ローン計算機は、住宅ローン変数の変化の影響に関する質問に対する答えを誰でも利用できるようにしています。

住宅ローン計算機は次のような質問に答えるために使用できます。

年利 7% で 250,000 ドルを借りて 30 年かけて返済し、年間の固定資産税 3,000 ドル、固定資産保険料 1,500 ドル、年間の民間住宅ローン保険料 0.5% を支払う場合、月々の支払額はいくらになるでしょうか。答えは 2,142.42 ドルです。

借り手候補は、オンラインの住宅ローン計算機を使用して、自分が購入できる不動産の額を調べることができます。貸し手は、借り手の総月収と総負債額を比較します。住宅ローン計算機は、すべての収入源を合計し、これをすべての月々の負債支払額と比較するのに役立ちます。^[要出典]また、住宅ローン支払額やその他の住宅関連費用（固定資産税、住宅所有費など）も計算に入れられます。さまざまなローン額と金利をテストできます。一般的に、貸し手は、借り手の負債支払額（不動産費用を含む）が税引き前月収の約 40% を超えることを好みません。住宅ローン貸し手の中には、55% まで許容するところもあります。

固定金利住宅ローンの固定月額支払額は、借入人が毎月支払う金額であり、これにより、期間終了時にローンが利子付きで全額返済されることが保証されます。月額支払額の計算式は、年金計算式に基づいています。月額支払額c は、次の要素によって決まります。

• r - 月間利率。提示された年利率は複利ではないため、月間利率は単純に年利率を 12 で割ったものになります。たとえば、年利率が 6% (つまり 0.06) の場合、r は0.5% (つまり 0.005)になります。${\displaystyle 0.06/12}$
• N -ローンの期間と呼ばれる月々の支払い回数、および
• P - 借入金額。ローンの元金とも呼ばれます。

米国で使用されている標準化された計算では、cは次の式で与えられます。^[4]

${\displaystyle c={\begin{cases}{\frac {rP}{1-(1+r)^{-N}}}={\frac {rP(1+r)^{N}}{(1+r)^{N}-1}},&r\neq 0;\\{\frac {P}{N}},&r=0.\end{cases}}}$

たとえば、30 年間固定年利 6.5% の 200,000 ドルの住宅ローンの場合、元金は、月利は、月々の支払回数は、固定月々支払額は 1,264.14 ドルになります。この数式は、 Excelなどのスプレッドシートの財務関数を使用して提供されます。この例では、月々の支払額は次のいずれかの数式を入力して取得します。 ${\displaystyle P=200000}$${\displaystyle r=0.065/12}$${\displaystyle N=30\cdot 12=360}$PMT

この式の次の導出は、固定金利住宅ローンの仕組みを示しています。毎月末のローンの借入額は、前月の借入額にこの額の利息を加算し、毎月支払う固定額を差し引いた金額に等しくなります。この事実から、負債スケジュールは次のようになります。

固定月額支払額cの前に現れる多項式( )は 等比級数であり、この差の最初と最後の項を除くすべての項が互いに打ち消し合うため、を観察することで得られる簡単な閉形式表現を持つ。したがって、 を解くと、はるかに簡単な閉形式表現が得られる。${\displaystyle p_{N}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{N-1}}$${\displaystyle x=1+r}$${\displaystyle xp_{N}(x)-p_{N}(x)=x^{N}-1}$${\displaystyle p_{N}(x)}$

${\displaystyle p_{N}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{N-1}={\frac {x^{N}-1}{x-1}}}$。

この式をN月末の未払い金額に適用すると、次のようになります (引数値 における関数値を簡潔に示すために を使用します)。 ${\displaystyle p_{N}}$${\displaystyle p_{N}(x)}$${\displaystyle x=(1+r)}$

N月末の未払い金額

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}=(1+r)^{N}P-p_{N}c\\&{}=(1+r)^{N}P-{\frac {(1+r)^{N}-1}{(1+r)-1}}c\\&{}=(1+r)^{N}P-{\frac {(1+r)^{N}-1}{r}}c.\end{aligned}}}$

N月の末に元金の返済に充てられる月々の支払額は、支払額cから既存の未払い元金に対して現在支払われている利息額を差し引いた額に等しい。後者の金額、現在の支払額の利息部分は、金利r にN -1月の末の未払い額を乗じたものである。住宅ローンの初期の数年間は未払い元金が依然として大きいため、それに対する利息支払額も大きい。そのため、月々の支払額のうち元金の返済に充てられる部分は非常に小さく、物件の資産価値は非常にゆっくりと蓄積される (物件の市場価値に変化がない場合)。しかし、住宅ローンの後の数年間は、元金が既に大幅に返済され、月々の利息をあまり支払う必要がなくなるため、月々の支払額のほとんどが元金の返済に充てられ、残りの元金は急速に減少する。

借り手の不動産に対する自己資本は、上記の式に従って、不動産の現在の市場価値から借入額を差し引いた金額に等しくなります。

固定金利の住宅ローンでは、借り手はローン期間の終了時にローンを全額返済することに同意するため、Nか月目の借入額はゼロでなければなりません。これを実現するには、月々の支払額c を前の式から取得して、次の式を得ることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}c&{}={\frac {r(1+r)^{N}}{(1+r)^{N}-1}}P\\&{}={\frac {r}{1-(1+r)^{-N}}}P\end{aligned}}}$

これは元々提供されていた式です。この導出は、固定金利ローンの 3 つの重要な要素を示しています。(1) 固定の月々の支払額は、借入額、金利、およびローンの返済期間によって決まります。(2) 毎月の借入額は、前月の借入額にその額に対する利息を加えた額から固定の月々の支払額を差し引いた額に等しくなります。(3) 固定の月々の支払額は、期間終了時にローンが利息とともに全額返済され、それ以上の借金がなくなるように選択されます。

変動金利住宅ローンは何十年も前から存在していましたが、 ^[5] 2002年から2005年にかけて、変動金利住宅ローンはより複雑になり、関連する計算も複雑になりました。^[6]融資はより創造的になり、計算も複雑になりました。サブプライムローンや「支払いを選択」、「支払いオプション」^、「ハイブリッド」ローンなどの創造的なローンは、住宅ローン計算の新しい時代をもたらしました。より創造的な変動金利住宅ローンは、これらの複雑なローンを特に処理するために計算にいくつかの変更を加えました。年率（APR）を計算するには、開始金利、その金利での期間、リキャスト、支払い変更、インデックス、マージン、定期的な金利変更上限、支払い上限、生涯上限、負の償却上限など、さらに多くの変数を追加する必要がありました。^[9] 多くの貸し手は独自のソフトウェアプログラムを作成し、World Savingsは「支払いを選択」プログラム専用の特別な計算機をCalculated Industriesに作成するよう契約しました。^[10] しかし、2000年代後半には大不況により、独創的な「支払いを選択する」タイプのローンの多くが廃止され、多くの借り手は時間の経過とともにローン残高が増加し、住宅の価値以上の借金を抱えることになりました。^[11] これにより、これらの住宅ローンに伴うより複雑な計算も軽減されました。

ローンの期間中に支払われる利息の総額は、総支払額（ ）とローン元金（）の差額です。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle cN}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle I=cN-P}$

ここで、は固定の月々の支払額、は支払回数、 はローンの当初の元金残高です。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle N}$${\displaystyle P}$

任意の期間 N の終了時に支払われる累積利息は、次のように計算できます。

${\displaystyle (Pr-c){\frac {((1+r)^{N}-1)}{r}}+cN}$

英国では、FCA (金融行為規制機構) (旧 FSA (金融サービス機構)) が住宅担保ローンを規制しています。FCA は特定の計算方法を規定していません。ただし、比較の目的で、貸し手は他の利率を表示するのと同じくらい目立つように年率を表示する必要があると規定しています。

スペインでは、規制当局（スペイン銀行）が、年率を明確に広告し、変動金利住宅ローンの支払いがどのように、いつ変更されるかを明記するなど、いくつかの優れた慣行を発行し、施行しています。^[12]

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