マイクロマグネティクス

マイクロマグネティクスは、サブマイクロメートルの長さスケールでの磁気挙動の予測を扱う物理学の分野です。考慮される長さスケールは、物質の原子構造を無視できるほど十分に大きい（連続体近似）一方で、磁壁や渦 などの磁気構造を解明できるほど十分に小さいものです。

マイクロマグネティクスは、磁気エネルギーを最小化することで静的平衡を扱い、時間依存の動的方程式を解くことで動的挙動を扱うことができます。

マイクロマグネティクスは、1935年にレフ・ランダウとエフゲニー・リフシッツが反磁壁について発表した論文に端を発する。 ^{[1] : 133  [2] [3] [4] [5] [6] : 440}マイクロマグネティクスはその後、ウィリアム・フラー・ブラウン・ジュニアが1940～1941年にいくつかの研究で 拡張した^{[1] : 133  [3] [一次資料以外が必要] [7] [8] [6] : 440} 。これは、ウィリアム・クロンク・エルモアが1938年に発表した論文から引用したエネルギー表現を使用している。^{[3] [9]} D. ウェイによると、ブラウンは1958年に「マイクロマグネティクス」という名前を導入した。^{[10] : 41  [11]} 1960年以前の分野はブラウンの著書「マイクロマグネティクス」で要約されている。^{[10] : 41  [12]} 1970年代にはパーソナルコンピュータの導入により記録媒体の解析のための計算手法が開発された。^{[10] : 44}

静的マイクロマグネティクスの目的は、平衡時の磁化の空間分布を解くことです。ほとんどの場合、温度は対象とする材料のキュリー温度よりもはるかに低いため、磁化係数はどこでも飽和磁化に等しいと想定されます。問題は、磁化方向ベクトル（縮小磁化とも呼ばれます）によって与えられる磁化の空間方向を見つけることです。 ${\displaystyle \mathbf {M} }$${\displaystyle |\mathbf {M} |}$ ${\displaystyle M_{s}}$ ${\displaystyle \mathbf {m} =\mathbf {M} /M_{s}}$

静的平衡は磁気エネルギーを最小化することによって見つけられる。^{[13] : 138}

${\displaystyle E=E_{\text{exch}}+E_{\text{anis}}+E_{\text{Z}}+E_{\text{demag}}+E_{\text{DMI}}+E_{\text{me}},}$

制約またはの対象となります。 ${\displaystyle |\mathbf {M} |=M_{s}}$${\displaystyle |\mathbf {m} |=1}$

このエネルギーへの貢献は次のとおりです。

交換エネルギーは量子力学的交換相互作用の現象論的連続体記述であり、次のように記述される: ^{[1] [13] : 101–104}

${\displaystyle E_{\text{exch}}=A\int _{V}\left((\nabla m_{x})^{2}+(\nabla m_{y})^{2}+(\nabla m_{z})^{2}\right)\mathrm {d} V}$

ここで、は交換定数、、およびはの成分であり、積分はサンプルの体積にわたって実行されます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle m_{x}}$${\displaystyle m_{y}}$${\displaystyle m_{z}}$${\displaystyle \mathbf {m} }$

交換エネルギーは、サンプル全体で磁化がゆっくりと変化する構成を好む傾向がある。このエネルギーは、磁化が完全に均一なときに最小化される。 ^{[1] : 135} 交換項は等方性であるため、どの方向でも同様に受け入れられる。^{[1] : 83}

磁気異方性は結晶構造とスピン軌道相互作用の組み合わせによって生じる。^{[1] : 84}一般的には次のように表される。

${\displaystyle E_{\text{anis}}=\int _{V}F_{\text{anis}}(\mathbf {m} )\mathrm {d} V}$

ここで、異方性エネルギー密度は磁化の向きの関数です。 の最小エネルギー方向は磁化容易軸と呼ばれます。 ${\displaystyle F_{\text{anis}}}$${\displaystyle F_{\text{anis}}}$

時間反転対称性は、がの偶関数であることを保証する。^{[13] : 108}最も単純なそのような関数は ${\displaystyle F_{\text{anis}}}$${\displaystyle \mathbf {m} }$

${\displaystyle F_{\text{anis}}(\mathbf {m} )=-K_{1}m_{z}^{2},}$

ここでK ₁は異方性定数と呼ばれる。この近似は一軸異方性と呼ばれ、容易軸は軸である。^{[1] : 85}${\displaystyle z}$

異方性エネルギーは、磁化がどこでも容易軸に沿って整列する磁気構成に有利です。

ゼーマンエネルギーは磁化と外部から印加された磁場との間の相互作用エネルギーであり、次のように表される: ^{[1] : 174  [13] : 109}

${\displaystyle E_{\text{Z}}=-\mu _{0}\int _{V}\mathbf {M} \cdot \mathbf {H} _{\text{a}}\mathrm {d} V}$

ここで は印加磁場、 は真空透磁率です。 ${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{a}}}$${\displaystyle \mu _{0}}$

ゼーマンエネルギーは、印加磁場と平行な磁化の配列を促進します。

反磁場は磁性サンプル自身によって作り出される磁場であり、それに伴うエネルギーは^{[13] ：110 である。}

${\displaystyle E_{\text{demag}}=-{\frac {\mu _{0}}{2}}\int _{V}\mathbf {M} \cdot \mathbf {H} _{\text{d}}\mathrm {d} V}$

ここで、反磁場は次式を満たす。 ${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{d}}}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} _{\text{d}}=0}$

したがって、ポテンシャルの勾配として表すことができます。この磁場は磁気配置自体に依存し、次のように解くことができます。 ${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{d}}=-\nabla U}$

${\displaystyle \nabla ^{2}U_{\text{in}}=\nabla \cdot \mathbf {M} }$

体の内部と

${\displaystyle \nabla ^{2}U_{\text{out}}=0}$

体の外側。これらは体の表面の境界条件によって補完される。

${\displaystyle U_{\text{out}}=U_{\text{in}},\quad {\frac {\partial U_{\text{in}}}{\partial \mathbf {n} }}-{\frac {\partial U_{\text{out}}}{\partial \mathbf {n} }}=\mathbf {M} \cdot \mathbf {n} }$

ここで は表面の単位法線です。さらに、ポテンシャルは と が として有界であるという条件を満たします。[ 1 ^{] : 109–111}これらの方程式の解（磁気静力学を参照）は、 次のようになります。${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle |rU|}$${\displaystyle |r^{2}\nabla U|}$${\displaystyle r\to \infty }$

${\displaystyle U(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {M} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} V+\int _{\partial V}{\frac {\mathbf {n} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} S\right).}$

この量はしばしば体積電荷密度と呼ばれ、表面電荷密度と呼ばれる。^{[1] : 125–126  [13] : 110  [6] : 441} 消磁場のエネルギーは、磁荷を最小にする磁気構成に有利に働く。特に、サンプルの端では、磁化は表面と平行になる傾向がある。ほとんどの場合、このエネルギー項を他の項と同時に最小化することは不可能である。^[要出典]静的平衡は、特定の項を個別に最小化することはできないが、総磁気エネルギーを最小化する妥協点である。 ${\displaystyle -\nabla \cdot \mathbf {M} }$${\displaystyle \mathbf {M} \cdot \mathbf {n} }$

この相互作用は結晶が反転対称性を欠いている場合、磁化が隣接するものと垂直になるよう促すために発生する。これは交換エネルギーと直接競合する。これはエネルギー寄与^{[14]でモデル化される。}

$${\displaystyle E_{\text{DMI}}=\int _{V}\mathbf {D} :(\nabla \mathbf {m} \times \mathbf {m} )}$$

ここで、は結晶クラスに依存する螺旋テンソルである。^[15]バルクDMIの場合、 ${\displaystyle \mathbf {D} }$

${\displaystyle E_{\text{DMI}}=\int _{V}D\mathbf {m} \cdot (\nabla \times \mathbf {m} ),}$

平面界面の薄膜の場合、DMIは次の式で表される。 ${\displaystyle x-y}$

${\displaystyle E_{\text{DMI}}=\int _{V}D(\mathbf {m} \cdot \nabla m_{z}-m_{z}\nabla \cdot \mathbf {m} ),}$

対称性クラスを持つ物質の場合、エネルギー寄与は ${\displaystyle D_{2d}}$

${\displaystyle E_{\text{DMI}}=\int _{V}D\mathbf {m} \cdot \left({\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}\times {\hat {x}}-{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}\times {\hat {y}}\right).}$

この用語は磁気スキルミオンの形成にとって重要です。

磁気弾性エネルギーは、弾性格子の歪みによるエネルギー貯蔵を表す。磁気弾性結合効果が無視される場合は、無視できる。磁化方向 に関連する結晶固体の優先的な局所歪みが存在する。単純な小ひずみモデルでは、この歪みが等容積で横方向に完全に等方的であると仮定することができ、偏差仮説^{[13] : 128  [16] : 250–251}が得られる。 ここで、材料パラメータは等方性磁気ひずみ定数である。弾性エネルギー密度は、弾性応力生成歪み の関数であると仮定される。磁気弾性エネルギーの二次形式は^{[13] : 138}であり 、ここで は 4 次弾性テンソルである。ここで、弾性応答は等方的であると仮定される（2 つのラメ定数と に基づく）。 の一定長を考慮すると、不変量ベースの表現が得られる。 ${\displaystyle \mathbf {m} }$ $${\displaystyle \mathbf {\varepsilon } _{0}(\mathbf {m} )={\frac {3}{2}}\lambda _{\text{s}}\,\left[\mathbf {m} \otimes \mathbf {m} -{\frac {1}{3}}\mathbf {1} \right]}$$${\displaystyle \lambda _{\text{s}}}$${\displaystyle \mathbf {\varepsilon } _{e}:=\mathbf {\varepsilon } -\mathbf {\varepsilon } _{0}}$ $${\displaystyle E_{\text{m-e}}={\frac {1}{2}}\int _{V}[\mathbf {\varepsilon } -\mathbf {\varepsilon } _{0}(\mathbf {m} )]:\mathbb {C} :[\mathbf {\varepsilon } -\mathbf {\varepsilon } _{0}(\mathbf {m} )]}$$${\displaystyle \mathbb {C} :=\lambda \mathbf {1} \otimes \mathbf {1} +2\mu \mathbb {I} }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbf {m} }$$${\displaystyle E_{\text{m-e}}=\int _{V}{\frac {\lambda }{2}}{\mbox{tr}}^{2}[\mathbf {\varepsilon } ]+\mu \,{\mbox{tr}}[\mathbf {\varepsilon } ^{2}]-3\mu E{\big \{}{\mbox{tr}}[\mathbf {\varepsilon } (\mathbf {m} \otimes \mathbf {m} )]-{\frac {1}{3}}{\mbox{tr}}[\mathbf {\varepsilon } ]{\big \}}.}$$

このエネルギー項は磁気歪に寄与します。

動的マイクロマグネティクスの目的は、磁気構成の時間的変化を予測することです。^{[1] : 181–182}これは、サンプルが磁場パルスやAC磁場の印加などの非定常条件にさらされている場合に特に重要です。これは、作用する 局所有効磁場の観点から磁化の変化を記述する偏微分方程式であるLandau-Lifshitz-Gilbert方程式を解くことによって行われます。

有効磁場は磁化によって感じられる局所的な磁場である。しかし、実在する磁場は静磁場と印加磁場だけである。^[12]有効磁場は、磁化の方向に対する磁気エネルギー密度の微分として非公式に記述することができ、次のようになる。

${\displaystyle \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }=-{\frac {1}{\mu _{0}M_{s}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}E}{\mathrm {d} \mathbf {m} \mathrm {d} V}}}$

ここで、d E /d Vはエネルギー密度です。変分法では、磁化の変化 d mとそれに伴う磁気エネルギーの 変化 d Eは次のように関係付けられます。

${\displaystyle \mathrm {d} E=-\mu _{0}M_{s}\int _{V}(\mathrm {d} \mathbf {m} )\cdot \mathbf {H} _{\text{eff}}\,\mathrm {d} V}$

mは単位ベクトルなので、 d m は常にmに垂直です。したがって、上記の定義では、 H _effのmに平行な成分は指定されません。^[12]この成分は磁化ダイナミクスに影響を与えないため、通常は問題にはなりません。

磁気エネルギーへのさまざまな寄与の表現から、有効磁場は（DMIと磁気弾性の寄与を除いて）次のように表されることがわかる。^{[1] ：178}

${\displaystyle \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }={\frac {2A}{\mu _{0}M_{s}}}\nabla ^{2}\mathbf {m} -{\frac {1}{\mu _{0}M_{s}}}{\frac {\partial F_{\text{anis}}}{\partial \mathbf {m} }}+\mathbf {H} _{\text{a}}+\mathbf {H} _{\text{d}}}$

これは磁化の運動方程式である。これは、磁化の有効磁場周りのラモア歳差運動を記述し、磁気システムと環境の結合から生じる追加の減衰項を含む。この方程式は、いわゆるギルバート形式（または暗黙形式）で次のように記述できる。^{[1] : 181  [6] : 462}

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}=-|\gamma |\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }+\alpha \mathbf {m} \times {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}}$

ここで、は電子磁気回転比、はギルバート減衰定数です。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha }$

これは数学的には次のようなランダウ・リフシッツ（または明示的）形式と同等であることが示される：^{[17] [1] : 181–182}

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}=-{\frac {|\gamma |}{1+\alpha ^{2}}}\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }-{\frac {\alpha |\gamma |}{1+\alpha ^{2}}}\mathbf {m} \times (\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\text{eff}}),}$

ここで、はギルバート減衰定数であり、減衰項がシステムからエネルギーをどれだけ速く奪うかを表す（ = 0、減衰なし、永久歳差運動）。これらの式は制約 を維持する。^{[1] : 181}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\mathbf {m} |=1}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|\mathbf {m} |^{2}=2\mathbf {m} \cdot {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}=0.}$

マイクロマグネティックスと力学の相互作用は、ハイパーサウンドスピーカーや高周波磁歪トランスデューサーなどの磁気音響共鳴を扱う産業用途の文脈でも興味深いものです。マイクロマグネティックスへの磁歪の影響を考慮したFEMシミュレーションは重要です。このようなシミュレーションでは、有限要素フレームワーク内で上記のモデルを使用します。^[18]

従来の磁区と磁壁の他に、この理論では、磁気渦と反磁気渦の状態^[19]や3d-ブロッホ点^{[20] [21]}などの位相的な線と点の構成の静力学と動力学も扱います。3d-ブロッホ点では、例えば磁化が原点から放射状にすべての方向に向かうか、位相的に等価な構成になります。このように、空間的にも時間的にも、ナノ（さらにはピコ）スケールが使用されます。

対応するトポロジカル量子数^[21]は、情報技術における最新の、そしてすでに研究されている命題を適用するための情報キャリアとして使用されると考えられています^{[誰によって？ ]}。

過去 10 年間に登場したもう 1 つの応用は、マイクロマグネティクスの神経刺激への応用です。この分野では、刺激装置によって生成される電磁場を解析するために有限要素解析などの数値的手法が使用され、その結果は生体内または生体外の神経刺激を使用してさらに検証または調査されます。この方法論を使用して、網膜ニューロン、蝸牛ニューロン、^[22]前庭ニューロン、および胎児ラットの皮質ニューロンを含むいくつかの異なるニューロン セットが研究されています。^[23]

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• OOMMF -- マイクロマグネティックモデリングツール。
• MuMax - GPU アクセラレーションによるマイクロマグネティック モデリング ツール。