ランダウ・リフシッツ・ギルバート方程式

物理学において、ランダウ・リフシッツ・ギルバート方程式（通常 LLG 方程式と略される）は、レフ・ランダウ、エフゲニー・リフシッツ、TL ギルバートにちなんで名付けられ、固体における磁化Mのダイナミクス（典型的には歳差運動）を記述する微分方程式の名称である。これは、ランダウとリフシッツの元の方程式をギルバートが修正したものである。^[1] LLG 方程式はブロッホ方程式に似ているが、減衰項の形式が異なっている。LLG 方程式は、単純なラーモア歳差運動 を超えた、より一般的な磁化ダイナミクスのシナリオを記述する。特に、Mの歳差運動を駆動する有効磁場は、実際の磁場に限定されず、磁気異方性、交換相互作用などの広範囲のメカニズムが組み込まれている。

LLG方程式のさまざまな形式は、磁場やその他の磁気相互作用が強磁性材料に与える影響をモデル化するためにマイクロマグネティクスで一般的に使用されています。これは、磁性要素の時間領域の動作をモデル化する実用的な方法を提供します。最近の開発では、LLG方程式が一般化され、スピン偏極電流の影響がスピントランスファートルクの形で含まれるようになりました。^[2]

強磁性体では、各時空点における磁化 Mの大きさは飽和磁化 M _sで近似される（ただし、体積の塊で平均すると小さくなることがある）。 LLG 方程式の前身であるランダウ・リフシッツ方程式は、実磁場だけでなく交換や異方性などの内部磁気相互作用も考慮した有効磁場 H _effに対する磁化の回転を現象論的に記述する。 より以前の同等の方程式（ランダウ・リフシッツ方程式）は、ランダウとリフシッツ（1935）によって導入された：^[1]

ここでγは電子磁気回転比であり、λは現象論的減衰パラメータであり、しばしば次のように置き換えられる。

${\displaystyle \lambda =\alpha {\frac {\gamma }{M_{\mathrm {s} }}},}$

ここで、α は減衰係数と呼ばれる無次元定数です。有効磁場H _effは、外部磁場、消磁場、および量子力学的効果を伴うさまざまな内部磁気相互作用の組み合わせであり、通常は局所磁化Mに対する磁気自由エネルギーの関数微分として定義されます。この方程式を解くには、材料の形状に合わせて消磁場の追加条件を含める必要があります。

1955年にギルバートはランダウ・リフシッツ（LL）方程式の減衰項を磁化の時間微分に依存する項に置き換えました。

これはランダウ・リフシッツ・ギルバート（LLG）方程式であり、ηは材料の特性である減衰パラメータである。これはランダウ・リフシッツ方程式に変換できる：^[3]

どこ

${\displaystyle \gamma '={\frac {\gamma }{1+\gamma ^{2}\eta ^{2}M_{s}^{2}}}\qquad {\text{and}}\qquad \lambda ={\frac {\gamma ^{2}\eta }{1+\gamma ^{2}\eta ^{2}M_{s}^{2}}}.}$

この形のLL方程式では、歳差項γ'は減衰項に依存します。これは減衰が大きい場合の実際の強磁性体の挙動をよりよく表しています。^{[4] [5]}

1996 年にジョン・スロンチェフスキーは、スピン移動トルク、すなわち強磁性体を流れるスピン偏極電流によって磁化時に誘起されるトルクを説明するためにモデルを拡張しました。これは通常、 m = M / M _Sで定義される単位モーメントで表されます。

${\displaystyle {\dot {\mathbf {m} }}=-\gamma \mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }+\alpha \mathbf {m} \times {\dot {\mathbf {m} }}+\tau _{\parallel }{\frac {\mathbf {m} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {m} )}{\left|\mathbf {x} \times \mathbf {m} \right|}}+\tau _{\perp }{\frac {\mathbf {x} \times \mathbf {m} }{\left|\mathbf {x} \times \mathbf {m} \right|}}}$

ここで、は無次元減衰パラメータ、は駆動トルク、xは電流の分極に沿った単位ベクトルである。^{[6] [7]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \tau _{\perp }}$${\displaystyle \tau _{\parallel }}$

• 磁化ダイナミクスアプレット