メルゲリアンの定理

メルゲリャンの定理は、 1951 年にアルメニアの数学者セルゲイ・メルゲリャンによって証明された、複素解析における多項式による近似の結果です 。

がに接続されている複素平面のコンパクト部分集合であるとします。このとき、への制限が正則 であるような任意の連続関数 は、多項式で一様に近似できます。ここで、は の内部を表します。^{[1] [2]}${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$ ${\displaystyle f:K\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\text{int}}(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\text{int}}(K)}$${\displaystyle K}$

メルゲリアンの定理は開いたリーマン面にも当てはまる

が開リーマン面上の穴のないコンパクト集合である場合、 内のあらゆる関数は内の関数によって上で一様近似できる。^[2]${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$

メルゲリアンの定理は高次元（複数の複素変数の空間）では必ずしも成立しないが、いくつかの帰結をもたらす。^[2]

メルゲリアンの定理は、ワイエルシュトラスの近似定理とルンゲの定理を一般化したものです。

が連結されていない場合、初期の近似問題において、多項式を有理関数に置き換える必要があります。このさらなる有理近似問題の解決の重要なステップは、1952 年に Mergelyan によっても示唆されました。有理近似に関するさらに深い結果は、特にAG Vitushkinによるものです。 ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$

ワイエルシュトラスとルンゲの定理は1885年に提唱され、メルゲリアンの定理は1951年に遡る。ワイエルシュトラスとルンゲの後、多くの数学者（特にウォルシュ、ケルディッシュ、ラヴレンチェフ、ハルトッグス、ローゼンタール）が同じ問題に取り組んできた。メルゲリアンが提案した証明方法は構成的であり、結果の唯一の構成的証明として知られている。^[要出典]

• アラケリアンの定理
• ハートッグス・ローゼンタール定理
• 岡・ヴェイユの定理

• Lennart Carleson、「一様多項式近似に関するメルゲリアンの定理」、Math. Scand.、V. 15、(1964) 167–175。
• Dieter Gaier, Lectures on Complex approximation、Birkhäuser Boston, Inc. (1987)、ISBN 0-8176-3147-X。 
• W. Rudin, Real and Complex Analysis、McGraw–Hill Book Co.、ニューヨーク、(1987)、ISBN 0-07-054234-1。 
• AG Vitushkin、「半世紀を一日として」、20世紀の数学的出来事、449-473、Springer、ベルリン、(2006)、ISBN 3-540-23235-4 /hbk。 

• 「メルゲリアン定理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• メルゲリアンの定理 -- Wolfram MathWorld より