終末の支配

2027年のクリスマスが何曜日になるかを調べるには、次の手順に従ってください。2027年は、終末の日が日曜日です。12月 12日は終末の日なので、その 13日後（2週間から1日引いた日）の12月25日は土曜日になります。クリスマスは常に終末の前の曜日です。さらに、7月 4日（アメリカ独立記念日）は常に終末の日と同じ曜日であり、ハロウィーン（10月 31日）、円周率の日（3月14日）、12月 26日（ボクシングデー）も同様です。

終末のアンカー日の計算は、基準年の任意の日付と現在の年の同じ日付の間の日数を計算し、7 で割った余りを取るというものです。両方の日付が閏日（ある場合）の後である場合、差は365 y + y / 4 (切り捨て)になります。しかし、365 は 52 × 7 + 1 に等しいので、余りを取ると、

${\displaystyle \left(y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor \right){\bmod {7}}.}$

yの大きな値を4 と 7 の両方で割ることに抵抗がなければ、より簡単な式が得られます。たとえば、次のように計算できます。

${\displaystyle \left(66+\left\lfloor {\frac {66}{4}}\right\rfloor \right){\bmod {7}}=(66+16){\bmod {7}}=82{\bmod {7}}=5}$

これは上記の例と同じ答えになります。

12 が登場するのは、${\displaystyle {\bigl (}y+{\bigl \lfloor }{\tfrac {y}{4}}{\bigr \rfloor }{\bigr )}{\bmod {7}}}$ほぼ12年ごとに繰り返されます。12年後には、${\displaystyle {\bigl (}12+{\tfrac {12}{4}}{\bigr )}{\bmod {7}}=15{\bmod {7}}=1}$y をy mod 12に置き換えると、この余分な日を捨てることになりますが、${\displaystyle {\bigl \lfloor }{\tfrac {y}{12}}{\bigr \rfloor }}$この誤差を補正することで、最終的な式が得られます。

世紀のグレゴリオ暦の基準日を計算するには、3 つの「平年世紀」（それぞれ閏年が 24 年）の後に 1 つの「閏世紀」（閏年が 25 年）が続きます。平年世紀は終末の日を 1 日分進めます。

${\displaystyle (100+24){\bmod {7}}=2+3=5}$

（2日前に相当する）日。閏世紀は終末の日を6日前倒しする（1日前に相当する）。

つまり、数世紀にわたって終末を早める

${\displaystyle \left(5c+{\biggl \lfloor }{c \over 4}{\biggr \rfloor }\right){\bmod {7}}}$、

しかしこれは、

${\displaystyle (5(c{\bmod {4}})){\bmod {7}}}$。

4世紀が終末を早める

${\displaystyle -2-2-2-1=-7,\qquad -7\equiv 0\quad {\pmod {7}}}$;

つまり、4世紀という周期は終末の日を変えない（そのため、世紀の公式には「mod 4」という表現が使われる）。

2010年にチェンバレン・フォンとマイケル・K・ウォルターズによって、その年の基準日を見つけるためのより簡単な方法が発見された。^{[ 13 ] 「奇数＋11」法と呼ばれるこの方法は、 [ 13 ]}を計算することと同等である。

${\displaystyle \left(y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor \right){\bmod {7}}}$。

4（または12）で割る必要がないため、暗算に適しています。また、「奇数＋11」というルールが繰り返し使われるため、手順も覚えやすいです。さらに、10進法では11による足し算は暗算で非常に簡単に行えます。

これを拡張して基準日を求める場合、その手順は、次の6つのステップで累計Tを累積していくものとして説明されることが多い。

1. Tをその年の下2桁とする。
2. Tが奇数の場合は、11を加える。
3. ここで、T = ⁠ T / 2 ⁠とする。
4. Tが奇数の場合は、11を加える。
5. ここで、T = 7 − ( T mod 7)とする。
6. 世紀の基準日からT日後を数えると、その年の基準日がわかります。

例えば、この方法を2005年に適用すると、手順は以下のようになります。

1. T = 5
2. T = 5 + 11 = 16（ Tは奇数なので11を加える）
3. T = 16 / 2 = 8​
4. T = 8（ Tは偶数なので何もする必要はありません）
5. T = 7 − (8 mod 7) = 7 − 1 = 6
6. 2005年の終末日 = 6 + 火曜日 = 月曜日 奇数+11方式の明示的な公式は次のとおりです。

${\displaystyle 7-\left[{\frac {y+11(y\,{\bmod {2}})}{2}}+11\left({\frac {y+11(y\,{\bmod {2}})}{2}}{\bmod {2}}\right)\right]{\bmod {7}}}$。

この式は難解で複雑に見えますが、実際には単純です^{[ 13 ]。}これは、一度だけ計算すればよい共通の部分式⁠ y + 11( y mod 2) / 2 ⁠があるためです。

終末日を計算する別の方法は、2023年に中井博によって提案された。^{[ 14 ]}

上記のように、年数n を次のように表す。${\displaystyle n=100c+y}$、 どこ${\displaystyle c}$そして${\displaystyle y}$それぞれ世紀と年の下2桁を表します。${\displaystyle c_{2}}$そして${\displaystyle y_{2}}$余りを表す${\displaystyle c}$そして${\displaystyle y}$それぞれを4で割ると、終末の曜日を表す数字は余りによって与えられる。${\displaystyle 5(c_{2}+y_{2}-1)+10y\quad {\text{mod}}\;(7)}$。

ユリウス暦の28年周期における終末の日の頻度に関して言えば、平日ごとに閏年が1回、平年が3回あり、平年は閏年の6年後、17年後、23年後に訪れます（つまり、6年、11年、6年、5年の間隔で訪れます。ただし、12年後には終末の日の順番が飛ばされるため、均等に分布しているわけではありません）。この周期は、3月1日以降の任意の日付が特定の平日に当たる場合にも適用されます。

2月28日までの任意の日付が特定の曜日に当たる場合、平年は閏年の5年後、11年後、22年後の3年間であり、その間隔はそれぞれ5年、6年、11年、6年となります。したがって、周期は同じですが、閏年の前ではなく後に5年の間隔が設けられています。

したがって、2月29日以外の日付については、特定の曜日に当たる平年間の間隔は6、11、11です。たとえば、ページ下部の「月曜日から始まる平年」で、1906年から2091年までの年を参照してください。

2月29日が特定の曜日に当たるのは28年に一度だけで、もちろんその年は閏年である。

グレゴリオ暦は現在、夏至や冬至などの天文現象と正確に一致しています。このユリウス暦の修正は1582年に初めて実施されました。暦のずれを修正するために10日間がスキップされ、終末の日が10日間（つまり3営業日）後ろに移動します。10月4日木曜日（ユリウス暦では終末の日は水曜日）の後に、10月15日金曜日（グレゴリオ暦では終末の日は日曜日）が続きます。この表にはユリウス暦の年が含まれていますが、アルゴリズムはグレゴリオ暦とプロレプティック・グレゴリオ暦のみに対応しています。

グレゴリオ暦はすべての国で同時に採用されたわけではないため、何世紀にもわたって、地域によって同じ日でも異なる日付が使われていたことに注意してください。

1985年9月18日の曜日を知りたいとしましょう。まず、世紀の基準日である水曜日から始めます。これに、上記のa、b、cを加えます。

• aは85 / 12の切り捨て値であり、 7です。
• bは85 mod 12であり、これは1です。
• cはb / 4の切り捨て値であり、 0です。

これによりa + b + c = 8となります。水曜日から 8 日を数えると、1985 年の終末の日である木曜日に到達します。（数字を使うと、7 を法とする算術では 8 は 1 と合同です。世紀の基準日は水曜日 (インデックス 3) であり、3 + 1 = 4 なので、1985 年の終末の日は木曜日 (インデックス 4) でした。）次に、9 月 18 日を、近くの終末の日である 9 月 5 日と比較します。18 日は終末の日から 13 日後、つまり 2 週間より 1 日少ないことがわかります。したがって、18 日は水曜日 (木曜日の前日) でした。 （数字を使って説明すると、7を法とする計算では、13は6、つまり-1と合同です。したがって、終末の日である木曜日から1を引くと、1985年9月18日は水曜日だったことがわかります。）

アメリカ南北戦争がサムター要塞で勃発した曜日、つまり1861年4月12日を求めたいとしましょう。世紀の基準日は火曜日から94日後、つまり金曜日でした（18 × 5 + ⌊ ⁠ 18 / 4 ⁠ ⌋で計算されます。または、上記の表で世紀の基準日を確認してください）。数字の61は6日間のずれを示し、終末日は木曜日でした。したがって、4月4日は木曜日だったので、8日後の4月12日は金曜日でした。