調停（統計）

統計学において、媒介モデルは、媒介変数（媒介変数、中間変数、または介在変数とも呼ばれる）と呼ばれる第3の仮説変数を含めることにより、独立変数と従属変数の間の観察された関係の根底にあるメカニズムまたはプロセスを特定し、説明しようとするものである。^[1]媒介モデルでは、独立変数と従属変数の間に直接的な因果関係があるのではなく、独立変数が媒介変数に影響を与え、それが従属変数に影響を与えると提唱されている。したがって、媒介変数は、独立変数と従属変数の間の因果関係の性質を明らかにするのに役立つ。^{[2] [3]}

媒介分析は、ある変数が媒介変数を介して別の変数に影響を与える根本的なメカニズムやプロセスを調べることで、既知の関係を理解するために使用されます。^[4]特に、媒介分析は、独立変数と従属変数に明らかな直接的なつながりがない場合に、それらの変数間の関係をよりよく理解するのに役立ちます。

バロンとケニー（1986）は、真の調停関係を形成するために満たさなければならないいくつかの要件を提示しました。^[5]これらは、実際の例を使用して以下に概説されています。説明される全体的な調停関係の視覚的な表現については、上の図を参照してください。元の手順は次のとおりです。

関係の持続期間

従属変数を独立変数に回帰して、独立変数が従属変数の重要な予測子であることを確認します。

独立変数従属変数 ${\displaystyle \to}$

${\displaystyle Y=\beta _{10}+\beta _{11}X+\varepsilon _{1}}$

• β11_は有意である

独立変数が媒介変数の重要な予測子であることを確認するために、媒介変数を独立変数に回帰します。媒介変数が独立変数と関連付けられていない場合、媒介変数は何も媒介できません。

独立変数メディエーター ${\displaystyle \to}$

${\displaystyle Me=\beta _{20}+\beta _{21}X+\varepsilon _{2}}$

• β21_は有意である

従属変数を媒介変数と独立変数の両方に回帰させて、a) 媒介変数が従属変数の重要な予測子であること、および b) ステップ 1 で以前は重要であった独立変数の係数の強度が、有意ではなくなったとしても大幅に低下していることを確認します。

${\displaystyle Y=\beta _{30}+\beta _{31}X+\beta _{32}Me+\varepsilon _{3}}$

• β32_は有意である
• β _{31 は}、独立変数の元の効果（上記の β ₁₁）よりも絶対値​​が小さくなるはずです。

^{Howell (2009) [6]}から引用した次の例は、媒介効果がどのように特徴付けられるかを理解するために、BaronとKennyの要件の各ステップを説明しています。ステップ1とステップ2では単回帰分析を使用し、ステップ3では多重回帰分析を使用します。

1. あなたがどのように育てられたか（つまり、独立変数）は、あなたが自分の子供を育てることにどれだけ自信があるか（つまり、従属変数）を予測します。
2. あなたがどのように育てられたか（つまり、独立変数）は、あなたの有能感と自尊心（つまり、仲介者）を予測します。
3. あなたの有能感と自尊心（つまり、仲介者）は、あなたがどのように育てられたか（つまり、独立変数）をコントロールしながら、自分の子供を育てることについてあなたがどれだけ自信を持っているか（つまり、従属変数）を予測します。

このような調査結果から、あなたがどのように親に育てられたかと、自分の子どもを育てることにどれだけ自信があるかという関係は、あなたの有能感と自尊心が仲介しているという結論が導かれます。

ステップ1で有意な結果が得られなかったとしても、ステップ2に進む根拠があるかもしれません。独立変数と従属変数の間には実際に有意な関係がある場合もありますが、サンプルサイズが小さい、またはその他の外部要因のために、実際に存在する効果を予測するのに十分なパワーがない場合があります。^[7]

上に示した図では、間接効果はパス係数「A」と「B」の積です。直接効果は係数「C'」です。直接効果は、独立変数が 1 単位増加し、媒介変数は変更されない場合に、従属変数が変化する程度を測定します。対照的に、間接効果は、独立変数が一定に保たれ、媒介変数が独立変数が 1 単位増加した場合に変化する量だけ変化する場合に、従属変数が変化する程度を測定します。^{[8] [9]}

線形システムでは、総効果は直接効果と間接効果の合計（上記モデルではC' + AB）に等しくなります。非線形モデルでは、総効果は一般に直接効果と間接効果の合計ではなく、2つの効果の修正された組み合わせに等しくなります。^[9]

媒介変数は、2 つの変数間の観察された関係のすべてまたは一部を説明することができます。

仲介変数を含めることで独立変数と従属変数の関係がゼロになった場合 (上の図の 経路 c ′を参照)、仲介の最大の証拠 (完全仲介とも呼ばれる) が発生します。

部分的媒介は、媒介変数が独立変数と従属変数の関係の一部を説明するが、すべてを説明するわけではないと主張します。部分的媒介は、媒介変数と従属変数の間に重要な関係があるだけでなく、独立変数と従属変数の間にも直接的な関係があることを意味します。

完全または部分的な媒介が確立されるためには、独立変数によって説明される分散の減少が、ソベル検定などのいくつかの検定の1つによって有意であると判定される必要がある。^[10]媒介変数が導入されると、説明される分散がわずかである（つまり、真の媒介ではない）という理由だけで、独立変数が従属変数に与える影響は有意でなくなる可能性がある。したがって、完全または部分的な媒介を断言する前に、独立変数によって説明される分散の有意な減少を示すことが不可欠である。全体的な効果がない場合でも、統計的に有意な間接効果がある可能性がある。^[11]これは、互いに打ち消し合う媒介パスが複数存在することで説明でき、打ち消し合う媒介の1つが制御されると顕著になる。これは、「部分的な」媒介と「完全な」媒介という用語は、常にモデル内に存在する変数のセットに対して相対的に解釈されるべきであることを意味する。いずれの場合も、「変数を固定する」という操作は、文献で不適切に使用されている「変数を制御する」という操作とは区別する必要があります。^{[8] [12]}前者は物理的に固定することを意味し、後者は回帰モデルを条件付け、調整、または追加することを意味します。2つの概念は、すべてのエラー項（図には示されていません）が統計的に無相関である場合にのみ一致します。エラーに相関がある場合は、仲介分析に着手する前に、それらの相関を中和するための調整を行う必要があります（ベイジアンネットワークを参照）。

ソベル検定^[10]は、独立変数と従属変数の関係が媒介変数の追加後に有意に減少したかどうかを判断するために行われます。言い換えれば、この検定は媒介効果が有意であるかどうかを評価します。この検定では、独立変数と従属変数の関係を、媒介因子を含めた独立変数と従属変数の関係と比較して調べます。

Sobel 検定は、上で説明した Baron および Kenny の手順よりも正確ですが、統計的検出力は低いです。そのため、有意な効果を検出するのに十分な検出力を得るためには、大きなサンプル サイズが必要です。これは、Sobel の検定の主要な仮定が正規性の仮定であるためです。Sobel の検定は、正規分布上の特定のサンプルを評価するため、サンプル サイズが小さいことと、標本分布の歪度が問題となる可能性があります (詳細については、正規分布を参照してください)。したがって、MacKinnon ら (2002) ^[13]が示唆する経験則では、小さな効果を検出するには 1000 のサンプル サイズが必要であり、中程度の影響を検出するには 100 のサンプル サイズで十分であり、大きな影響を検出するには 50 のサンプル サイズが必要であるということです。

ソベルの式は次の通りである: ^[14]

${\displaystyle z={\frac {ab}{\sqrt {b^{2}s_{a}^{2}+a^{2}s_{b}^{2}}}}}$

ブートストラップ法は、ソーベル検定に比べて、主に検出力の向上など、いくつかの利点があります。プリーチャーとヘイズのブートストラップ法はノンパラメトリック検定であり、正規性の仮定を課しません。したがって、生のデータが利用できる場合は、ブートストラップ法が推奨されます。^[14] ブートストラップ法では、データセットから復元抽出法で観測値を繰り返しランダムにサンプリングし、各再サンプルで目的の統計量を計算します。数百、数千のブートストラップ再サンプルを計算すると、目的の統計量のサンプリング分布の近似値が得られます。プリーチャー–ヘイズ法では、媒介効果の有意性または非有意性を評価できる点推定値と信頼区間が得られます。点推定値は、ブートストラップされたサンプルの数の平均を明らかにし、ブートストラップ法の結果の信頼区間の間にゼロがない場合は、報告すべき有意な媒介効果があると自信を持って結論付けることができます。

上で概説したように、調停モデルを評価するために選択できるオプションはいくつかあります。

ブートストラッピング^{[15] [16]}は、正規性仮定を満たす必要がなく、より小さなサンプルサイズ（N  < 25）で効果的に利用できることから、媒介を検定する最も一般的な方法になりつつあります。しかし、媒介は、バロンとケニーの論理^[17]またはソーベル検定を使用して最も頻繁に判定され続けています。バロンとケニーの方法のみに基づいた媒介検定や、ソーベル検定などの分布仮定を行う検定を発表することは、ますます困難になっています。したがって、実施する検定を選択する際には、選択肢を考慮することが重要です。^[11]

心理学で定義されている媒介の概念は理論的には魅力的であるが、媒介を経験的に研究するために使用される方法は統計学者や疫学者によって異議を唱えられており^{[8] [12] [18]}、正式に解釈されている^{[9] 。}

実験的因果連鎖設計

実験的因果連鎖設計は、提案された媒介因子が実験的に操作されるときに使用されます。このような設計は、特定の関係の根底にあるメカニズムであると考えられる理由がある、制御された第 3 の変数を操作することを意味します。

仲介の測定設計

媒介の測定デザインは、統計的アプローチとして概念化することができます。このようなデザインは、提案された介在変数を測定し、統計分析を使用して媒介を確立することを意味します。このアプローチでは、仮説上の媒介変数を操作することはなく、測定のみを行います。^[19]

ヘイズ（2009）はバロンとケニーの調停ステップアプローチを批判し、^[11] 2019年現在、デイビッド・A・ケニーは自身のウェブサイトで、調停は「有意な」全体的効果がない場合でも存在する可能性があり（「矛盾した調停」と呼ばれることもある）、したがって1986年の元のアプローチのステップ1は必要ないかもしれないと述べています。ヘイズのその後の出版物は、完全調停と部分調停の概念に疑問を投げかけ、これらの用語と古典的な（1986年）調停のステップを放棄することを提唱しました。

媒介に対する実験的アプローチは、慎重に実行されなければならない。まず、媒介変数の可能性を探索的に調査するには、強力な理論的裏付けが必要である。媒介アプローチに対する批判は、媒介変数を操作および測定する能力にかかっている。したがって、提案された媒介変数を許容可能かつ倫理的な方法で操作できなければならない。したがって、結果に干渉することなく、介入プロセスを測定できなければならない。また、媒介変数は、操作の構成妥当性を確立できなければならない。媒介測定アプローチに対する最も一般的な批判の 1 つは、それが最終的には相関設計であるということである。したがって、提案された媒介変数とは独立した、別の第 3 の変数が、提案された効果の原因である可能性がある。しかし、研究者はこの非難に対する反証を提供するために懸命に取り組んできた。具体的には、以下の反論が提出されている: ^[4]

時間的な優先順位

たとえば、独立変数が従属変数よりも時間的に先行する場合、これは独立変数から従属変数への方向性のある、潜在的に因果関係のあるリンクを示唆する証拠となります。

偽りのないことおよび/または交絡因子がない

たとえば、他の第 3 の変数を特定し、それらが独立変数と従属変数の関係を変えないことを証明すれば、それらの媒介効果についてより強力な議論を持つことができます。他の第 3 の変数については以下を参照してください。

媒介は極めて有用かつ強力な統計的検定となり得ますが、適切に使用する必要があります。媒介変数と従属変数を評価するために使用される尺度が理論的に異なること、および独立変数と媒介変数が相互作用しないことが重要です。独立変数と媒介変数の間に相互作用がある場合、緩和を調査する根拠となります。

よくテストされるもう 1 つのモデルは、モデル内の競合変数が、従属変数の代替の潜在的媒介変数または測定されていない原因であるモデルです。因果モデル内の追加変数は、独立変数と従属変数の関係を不明瞭にしたり、混乱させたりする可能性があります。潜在的な交絡因子とは、独立変数と従属変数の両方に因果的な影響を与える可能性のある変数です。これには、測定誤差の共通ソース (上記で説明) や、独立変数と従属変数の両方に共通するその他の影響が含まれます。

実験研究では、動機となる理論的要因ではなく、研究効果を説明する可能性のある実験操作または設定の側面について特別な懸念があります。これらの問題はいずれも、測定された独立変数と従属変数の間に誤った関係を生み出す可能性があります。交絡変数を無視すると、独立変数の因果効果の実証的推定に偏りが生じる可能性があります。

抑制変数は、回帰方程式に含まれると、別の変数の予測妥当性を高めます。抑制は、1 つの原因変数が 2 つの別々の媒介変数を介して結果変数に関連し、それらの媒介効果の 1 つが正で、もう 1 つが負である場合に発生する可能性があります。このような場合、各媒介変数は、他の媒介変数を介して伝達される効果を抑制または隠蔽します。たとえば、知能スコア (原因変数、A ) が高いと、エラー検出 (媒介変数、B ) が増加し、その結果、組み立てラインでの作業中に発生するエラー (結果変数、X ) が減少する可能性があります。同時に、知能は退屈 ( C ) の増加を引き起こし、その結果、エラー ( X ) が増加する可能性があります。したがって、1 つの因果経路では知能はエラーを減らし、もう 1 つの因果経路では知能はエラーを増やします。どちらの媒介変数も分析に含まれていない場合、知能はエラーに対してまったく影響を及ぼさないか、または弱い影響しか及ぼさないように見えます。しかし、退屈が制御されると、知性はエラーを減らすように見えます。また、エラー検出が制御されると、知性はエラーを増やすように見えます。退屈だけを一定に保ちながら知性を高めることができれば、エラーは減ります。エラー検出だけを一定に保ちながら知性を高めることができれば、エラーは増えます。

一般的に、抑制因子または交絡因子を省略すると、AがXに与える影響が過小評価または過大評価され、その結果、 2 つの変数間の関係の大きさが減少するか、人為的に誇張されることになります。

その他の重要な第 3 の変数は、モデレーターです。モデレーターは、 2 つの変数の関係を強めたり弱めたりできる変数です。このような変数は、XとYの関係の方向や強度に影響を与えることで、回帰分析における相互作用をさらに特徴づけます。モデレート関係は相互作用と考えることができます。これは、変数 A と B の関係が C のレベルに依存する場合に発生します。詳細については、 モデレーションを参照してください。

統計モデルでは、調停と節度が同時に発生することがあります。節度を調停し、調停を節度化することも可能です。

緩和媒介とは、媒介変数に対する処置Aの効果および/または従属変数に対する部分効果B が、別の変数 (緩和因子) のレベルに依存する場合です。緩和媒介では、基本的に、まず媒介が確立され、次に、独立変数と従属変数の関係を表す媒介効果が別の変数 (緩和因子) の異なるレベルによって緩和されるかどうかが調べられます。この定義は、Muller、Judd、Yzerbyt (2005) ^[20]および Preacher、Rucker、Hayes (2007) ^{[21]によって概説されています。}

下の図に示すように、モデレートされた調停には5つのモデルが考えられます。^[20]

1. 最初のモデルでは、独立変数は仲介変数と従属変数の関係も調整します。
2. 調整された仲介の 2 番目のモデルでは、独立変数と仲介者 ( Aパス)の関係を調整する新しい変数が使用されます。
3. 調整された仲介の 3 番目のモデルには、仲介者と従属変数 ( Bパス)の関係を調整する新しい調整変数が含まれます。
4. 調整された媒介は、1 つの調整変数が独立変数と媒介変数の関係 ( Aパス) と媒介変数と従属変数の関係 ( Bパス) の両方に影響を及ぼす場合にも発生することがあります。
5. 調整された仲介の 5 番目で最後のモデルには、2 つの新しい調整変数が含まれます。1 つはAパスを調整し、もう 1 つはBパスを調整します。

上記のモデルに加えて、独立変数と媒介変数の関係を調整する新しい変数（Aパス）が存在すると同時に、新しい変数が独立変数と従属変数の関係を調整する新しい変数（Cパス）が存在することもあります。^[1]

媒介された緩和は緩和と媒介の両方のバリエーションです。これは、最初に全体的な緩和があり、モデレータ変数が結果に直接与える影響が媒介される場合です。媒介された緩和と緩和された媒介の主な違いは、前者では最初の（全体的な）緩和があり、この影響が媒介されるのに対し、後者では緩和はないが、治療が媒介変数に与える影響（パスA）が緩和されるか、媒介変数が結果に与える影響（パスB）が緩和されることです。^[20]

媒介されたモデレーションを確立するためには、まずモデレーションを確立する必要があります。つまり、独立変数と従属変数の関係の方向や強さ (パスC ) は、3 番目の変数 (モデレーター変数) のレベルに応じて異なります。研究者は次に、独立変数とモデレーター (パスA ) またはモデレーターと従属変数 (パスC ) の関係を引き起こすメカニズムまたはプロセスとして機能する 4 番目の変数が存在すると信じる理論的な理由がある場合に、媒介されたモデレーションの存在を探します。

以下は心理学研究における媒介モデレーションの公表された例である。^[22] 参加者には、道徳について考えさせるか、力について考えさせる最初の刺激（プライム）が提示された。次に、参加者は囚人のジレンマゲーム（PDG）に参加した。このゲームでは、参加者は自分と犯罪仲間が逮捕されたと仮定し、パートナーに忠実であり続けるか、パートナーと競争して当局に協力するかを決めなければならない。研究者らは、向社会的な個人は道徳と力のプライムの影響を受け、向自己の個人は影響を受けないことを発見した。つまり、社会的価値志向（向自己対向社会的）が、プライム（独立変数：道徳対力）とPDGで選択された行動（従属変数：競争対協力）との関係を調整したのである。

次に研究者らは媒介された調整効果の存在を探した。回帰分析により、プライムの種類（道徳 vs. 力）が、参加者の社会的価値志向とPDG行動との調整関係を媒介していることが明らかになった。道徳プライムを経験した向社会的な参加者は、パートナーが協力することを期待したため、自らも協力することを選択した。力プライムを経験した向社会的な参加者は、パートナーが自分と競争することを期待したため、パートナーと競争し、当局と協力する可能性が高まった。対照的に、自己優先の社会的価値志向を持つ参加者は常に競争的に行動した。

Muller、Judd、Yzerbyt（2005）^[20]は、調整された媒介と媒介された調整の両方の基礎となる3つの基本モデルを概説しています。Moはモデレータ変数、Meはメディエーター変数、εi_は各回帰式の測定誤差を表します。

独立変数 (X) と従属変数 (Y) の関係の調整。全体的な治療効果とも呼ばれます (図の パスC )。

${\displaystyle Y=\beta _{40}+\beta _{41}X+\beta _{42}Mo+\beta _{43}XMo+\varepsilon _{4}}$

• 全体的なモデレーションを確立するには、β ₄₃回帰重みが有意である必要があります (媒介モデレーションを確立するための最初のステップ)。
• 緩和された媒介を確立するには緩和効果がないことが必要であるため、β ₄₃回帰の重みは有意であってはなりません。

独立変数と媒介変数の関係の調整（パスA）。

${\displaystyle Me=\beta _{50}+\beta _{51}X+\beta _{52}Mo+\beta _{53}XMo+\varepsilon _{5}}$

• β ₅₃回帰の重みが有意である場合、調整変数は独立変数と媒介変数の関係に影響を与えます。

独立変数と従属変数の関係（パスA）と、仲介変数と従属変数の関係（パスB）の両方を調整します。

${\displaystyle Y=\beta _{60}+\beta _{61}X+\beta _{62}Mo+\beta _{63}XMo+\beta _{64}Me+\beta _{65}MeMo+\varepsilon _{6}}$

• ステップ2のβ ₅₃とステップ3のβ _63の両方が有意である場合、モデレータは独立変数とメディエーターの関係に影響を与えます（パスA）。
• ステップ2のβ ₅₃とステップ3のβ _65の両方が有意である場合、モデレータはメディエーターと従属変数の関係に影響を与えます（パスB）。
• 上記の条件のいずれかまたは両方が当てはまる可能性があります。

媒介分析は、変数が原因から結果への変化の伝達にどの程度関与しているかを定量化します。これは本質的に因果関係の概念であるため、統計用語で定義することはできません。ただし、伝統的に、媒介分析の大部分は線形回帰の範囲内で行われ、統計用語によって関係する関係の因果関係が隠されていました。これにより、困難、偏見、制限が生じましたが、因果図と反事実的論理に基づく現代の因果分析方法によって、これらの問題は軽減されました。

これらの困難の原因は、回帰方程式に第 3 の変数を追加することによって誘発される変化の観点から媒介を定義することにあります。このような統計的変化は、媒介に付随することもある付随現象ですが、一般的には、媒介分析が定量化しようとしている因果関係を捉えることができません。

因果アプローチの基本的な前提は、XがYに 及ぼす直接的な影響を推定しようとする場合、媒介因子Mを「制御」することが必ずしも適切ではないということです (上の図を参照)。Mを「制御する」ことの古典的な根拠は、 Mの変化を防ぐことに成功すれば、 Y で測定される変化はXの変化のみに起因するものであり、観察された効果を「XのYへの直接的な影響」と宣言することが正当化されるというものである。残念ながら、「 Mを制御」しても、 M の変化が物理的に防止されるわけではなく、分析者の注意をM の値が等しいケースに狭めるだけである。さらに、確率論の言語には、「 M の変化を防ぐ」または「M を物理的に一定に保つ」という概念を表現する表記法がない。確率が提供する唯一の演算子は「条件付け」であり、これはMを「制御」するとき、またはM をYの式に回帰変数として追加するときに行うものである。その結果、M を物理的に一定に保ち (たとえばM = mで)、X  = 1' のユニットと X = 0のユニットのY を比較する代わりに、 M が変化するのを許可し、 M が値M  =  m を達成するユニットを除くすべてのユニットを無視する。これら 2 つの操作は根本的に異なり、次の結果をもたらす。省略された変数がない場合を除いて、異なる結果^{[23] [24]が見られる。不適切に条件付けされた媒介効果は、}悪い制御の一種となり得る。

例として、MとYの誤差項 が相関していると仮定します。このような条件下では、構造係数BとA ( MとYの間、およびYとXの間) は、 Y をXとMに回帰させて推定することはできません。実際、Cがゼロの場合でも、回帰の傾きは両方ともゼロでない場合があります。^[25] これには2つの結果があります。まず、構造係数A、 B、およびCを推定するための新しい戦略を考案する必要があります。次に、直接効果と間接効果の基本的な定義は回帰分析を超えて、「 Mの条件付け」ではなく「Mの固定」 を模倣する操作を呼び出す必要があります。

このような演算子do( M  =  m )はPearl(1994) ^{[24]で定義されており、} Mの方程式を削除して定数mに置き換えることによって機能します。たとえば、基本的な仲介モデルが次の方程式で構成されている場合:

${\displaystyle X=f(\varepsilon _{1}),~~M=g(X,\varepsilon _{2}),~~Y=h(X,M,\varepsilon _{3}),}$

演算子do( M  =  m )を適用するとモデルは次のようになります。

${\displaystyle X=f(\varepsilon _{1}),~~M=m,~~Y=h(X,m,\varepsilon _{3})}$

演算子do( X  =  x )を適用するとモデルは次のようになります。

${\displaystyle X=x,M=g(x,\varepsilon _{2}),Y=h(x,M,\varepsilon _{3})}$

ここで関数fとg、および誤差項 ε ₁と ε ₃の分布は変更されません。do ( X  =  x )から生じる変数MとY をそれぞれM ( x ) とY ( x ) と改名すると、「潜在的な結果」 ^[26]または「構造的反事実」 [ ²⁷ ]として知られるものが得られます。これらの新しい変数は、直接効果と間接効果を定義するための便利な表記法を提供します。特に、 X  = 0からX  = 1 への 遷移に対して 4 種類の効果が定義されています。

（a）総合的な効果 –

${\displaystyle TE=E[Y(1)-Y(0)]}$

（b）制御された直接効果 -

${\displaystyle CDE(m)=E[Y(1,m)-Y(0,m)]}$

（ｃ）自然の直接効果 -

${\displaystyle NDE=E[Y(1,M(0))-Y(0,M(0))]}$

（d）自然間接効果

${\displaystyle NIE=E[Y(0,M(1))-Y(0,M(0))]}$

ここで、E [ ] は誤差項に対する期待値を表します。

これらの効果には次のような解釈があります。

• TEは、 XがX=0からX=1に変化するときの結果Yの予想される増加を測定します。一方、メディエーターは、関数M = g(X, ε ₂ )によって指示されるXの変化を追跡できます。
• CDEは、 XがX = 0からX = 1に変化するときの結果Yの期待される増加を測定します。一方、媒介変数は、事前に指定されたレベルM = mで、集団全体にわたって均一に固定されます。
• NDE は、 XがX = 0からX = 1 に変化したときにYがどれだけ増加すると予想されるかを測定し、メディエーター変数をX = 0 の場合、つまり変化前の値に設定します。
• NIE は、 Xが一定 ( X = 1)に保たれ、M がX = 1の条件で (各個人に対して) 達成される値に変化した場合に、 Yがどれだけ増加すると予想されるかを測定します。
• TE-NDE の差は、効果を説明するために媒介がどの程度必要かを測定するのに対し、 NIE は効果を持続させるために媒介がどの程度十分かを測定します。

変数を定数に固定することで直接効果を無効にする方法がないため、間接効果の制御バージョンは存在しません。

これらの定義によれば、全体の効果は以下のように分解できる。

${\displaystyle TE=NDE-NIE_{r}}$

ここで、NIE _{r は}X  = 1からX = 0 への逆遷移を表します 。遷移の反転が符号の反転を伴う線形システムでは、NIE r は加算的になります。

これらの定義の威力はその一般性にあります。任意の非線形相互作用、擾乱間の任意の依存関係、連続変数とカテゴリ変数の両方を持つモデルに適用できます。

線形解析では、すべての効果は構造係数の積の合計によって決定され、

${\displaystyle {\begin{aligned}TE&=C+AB\\CDE(m)&=NDE=C,{\text{ independent of }}m\\NIE&=AB.\end{aligned}}}$

したがって、モデルが特定されれば、すべての効果を推定できる。非線形システムでは、直接効果と間接効果を推定するために、より厳しい条件が必要となる。^{[9] [28] [29]}たとえば、交絡が存在しない（すなわち、ε ₁、ε ₂、およびε ₃が相互に独立している）場合、次の式を導くことができる：^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}TE&=E(Y\mid X=1)-E(Y\mid X=0)\\CDE(m)&=E(Y\mid X=1,M=m)-E(Y\mid X=0,M=m)\\NDE&=\sum _{m}[E(Y|X=1,M=m)-E(Y\mid X=0,M=m)]P(M=m\mid X=0)\\NIE&=\sum _{m}[P(M=m\mid X=1)-P(M=m\mid X=0)]E(Y\mid X=0,M=m).\end{aligned}}}$

最後の2つの式は媒介公式^{[30] [31] [32]}と呼ばれ、多くの媒介研究における推定の対象となっている。^{[28] [29] [31] [32]これらは直接効果と間接効果について分布に依存しない表現を与え、誤差分布と関数}f、g、hの恣意性にもかかわらず、媒介効果は回帰を使用してデータから推定できることを証明している。調整された媒介と媒介モデレーターの分析は因果媒介分析の特殊なケースに該当し、媒介公式はさまざまな相互作用係数が媒介の必要十分要素にどのように寄与するかを特定する。^{[29] [30]}

モデルが次の形式であると仮定する

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\varepsilon _{1}\\M&=b_{0}+b_{1}X+\varepsilon _{2}\\Y&=c_{0}+c_{1}X+c_{2}M+c_{3}XM+\varepsilon _{3}\end{aligned}}}$

ここで、パラメータ は、 M がYに対するXの効果をどの程度変更するかを定量化します。すべてのパラメータがデータから推定されたとしても、どのパラメータの組み合わせがYに対するXの直接的および間接的な効果を測定するか、またはより実際的に、全体の効果のうち媒介によって説明される部分と媒介に起因する部分をどのように評価するかは明らかではありません。線形解析では、前者の割合は積 によって捕捉され、後者は差 によって捕捉され、2 つの量は一致します。ただし、相互作用がある場合は、媒介式によって示されるように、各部分ごとに個別の解析が必要になり、次の式が得られます。 ${\displaystyle c_{3}}$${\displaystyle TE}$${\displaystyle TE}$${\displaystyle b_{1}c_{2}/TE}$${\displaystyle (TE-c_{1})/TE}$

${\displaystyle {\begin{aligned}NDE&=c_{1}+b_{0}c_{3}\\NIE&=b_{1}c_{2}\\TE&=c_{1}+b_{0}c_{3}+b_{1}(c_{2}+c_{3})\\&=NDE+NIE+b_{1}c_{3}.\end{aligned}}}$

したがって、仲介が十分である出力応答の割合は

${\displaystyle {\frac {NIE}{TE}}={\frac {b_{1}c_{2}}{c_{1}+b_{0}c_{3}+b_{1}(c_{2}+c_{3})}},}$

一方、調停が必要となる割合は

${\displaystyle 1-{\frac {NDE}{TE}}={\frac {b_{1}(c_{2}+c_{3})}{c_{1}+b_{0}c_{3}+b_{1}(c_{2}+c_{3})}}.}$

これらの割合には、モデルのパラメータの明白でない組み合わせが含まれており、仲介式を使用して機械的に構築できます。重要なことに、相互作用により、パラメータが消えても直接効果は維持され、さらに、直接効果と間接効果の両方が消えても全体的な効果は維持されます。これは、パラメータを個別に推定しても仲介の効果についてほとんど何もわからないこと、そしてより一般的には、仲介と緩和は絡み合っており、個別に評価できないことを示しています。 ${\displaystyle c_{1}}$

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注記

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• SPSS および SAS の PROCESS マクロの紹介を含む、モデレーションとメディエーション分析に関する書籍 Andrew F. Hayes、オハイオ州立大学
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