モデレーション（統計）

統計学と回帰分析では、2 つの変数の関係が第 3 の変数に依存する場合に、モデレーション(効果修正とも呼ばれる) が発生します。第 3 の変数は、モデレーター変数(または効果修正子) または単にモデレーター(または修正子) と呼ばれます。^{[1] [2]}モデレーター変数の効果は、統計的には相互作用として特徴付けられます。^[1]つまり、従属変数と独立変数の関係の方向や大きさに関連付けられたカテゴリ変数(性別、民族、階級など) または連続変数(年齢、報酬レベルなど)です。特に相関分析フレームワークでは、モデレーターは、他の 2 つの変数間のゼロ次相関、または独立変数に対する従属変数の傾きの値に影響を与える第 3 の変数です。分散分析 (ANOVA) の用語では、基本的なモデレーター効果は、焦点となる独立変数と、その動作の適切な条件を指定する要因との相互作用として表すことができます。 ^[3]

行動科学における調整分析には、線形多重回帰分析または因果モデリングが使用されます。^[1]多重回帰分析で調整変数の効果を定量化するために、ランダム変数 Y をXに回帰し、モデルに追加の項を追加します。この項は、Xと提案された調整変数との相互作用です。^[1]

したがって、応答Yと 2 つの変数x ₁および調整変数x ₂の場合、次のようになります。

${\displaystyle Y=b_{0}+b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+b_{3}(x_{1}\times x_{2})+\varepsilon \,}$

この場合、x ₂の調整変数としての役割は、相互作用項のパラメータ推定値であるb _{3 を評価することによって達成されます。} ^[1]回帰分析におけるパラメータ推定値の統計的評価については、 線形回帰を 参照してください。

調整回帰分析では、新しい相互作用予測子 ( ) が計算されます。ただし、新しい相互作用項は、計算に使用された 2 つの主効果項と相関している可能性があります。これが、調整回帰における多重共線性の問題です。多重共線性により、係数がより高い標準誤差で推定される傾向があり、不確実性も大きくなります。 ${\displaystyle x_{1}x_{2}}$

平均中心化（平均から生のスコアを減算すること）により多重共線性が低減し、より解釈しやすい回帰係数が得られる可能性がある。^{[4] [5]}ただし、全体的なモデルの適合には影響しません。

ANOVA の単純な主効果分析と同様に、回帰分析における相互作用の事後調査では、独立変数の特定の値における一方の独立変数の単純な傾きを調べます。以下は、双方向の相互作用の調査の例です。次の図は、2 つの変数 A と B と相互作用項 A*B を持つ回帰方程式を示しています。

${\displaystyle Y=b_{0}+b_{1}A+b_{2}B+b_{3}A*B+\epsilon }$

検討されるであろう。^[6]

両方の独立変数がカテゴリ変数である場合、一方の独立変数の回帰結果を、もう一方の独立変数の特定のレベルで分析できます。たとえば、A と B の両方が単一のダミーコード化 (0,1) 変数であり、A が民族 (0 = ヨーロッパ系アメリカ人、1 = 東アジア人) を表し、B が研究の条件 (0 = 対照、1 = 実験) を表すとします。この場合、相互作用効果は、条件が従属変数 Y に与える影響がヨーロッパ系アメリカ人と東アジア人に対して異なるかどうか、および民族的ステータスの影響が 2 つの条件に対して異なるかどうかを示します。A の係数は、対照条件に対する Y への民族的影響を示し、B の係数は、ヨーロッパ系アメリカ人の参加者に対して実験条件を課す影響を示します。

実験条件においてヨーロッパ系アメリカ人と東アジア系アメリカ人の間に有意差があるかどうかを調べるには、条件変数を逆コード化 (0 = 実験、1 = 対照) して分析を実行するだけで済みます。こうすると、民族の係数は実験条件における Y に対する民族の影響を表します。同様に、治療が東アジアの参加者に効果があるかどうかを確認したい場合は、民族変数を逆コード化 (0 = 東アジア、1 = ヨーロッパ系アメリカ人) することができます。

最初の独立変数がカテゴリ変数 (性別など) で、2 番目が連続変数 (生活満足度尺度 (SWLS) のスコアなど) である場合、b _{1 は}生活満足度がゼロのときの男性と女性の従属変数の差を表します。ただし、生活満足度尺度のスコアがゼロであることは意味がありません。スコアの範囲が 7 ～ 35 だからです。ここで中心化が重要になります。サンプルの SWLS スコアの平均を各参加者のスコアから減算すると、結果として得られる中心化された SWLS スコアの平均はゼロになります。分析を再度実行すると、b _{1 は}サンプルの SWLS スコアの平均レベルでの男性と女性の差を表すようになります。

Cohen ら (2003) は、性別が従属変数 ( Y ) に及ぼす単純な影響を、連続独立変数の 3 つの水準、すなわち高 (平均値より 1 標準偏差上)、中程度 (平均値と同等)、低 (平均値より 1 標準偏差下) で調べるために、以下を使用することを推奨しています。^[7]連続変数のスコアが標準化されていない場合は、元のスコアの 1 標準偏差を加算または減算することで、これら 3 つの値を計算できます。連続変数のスコアが標準化されている場合は、次のように 3 つの値を計算できます。高 = 標準化スコア - 1、中程度 (平均値 = 0)、低 = 標準化スコア + 1。次に、SWLS スコアの高、中程度、低水準で、性別が従属変数 ( Y ) に及ぼす影響を調べることができます。2 つのカテゴリ独立変数と同様に、 b _{2 は}、女性の従属変数に対する SWLS スコアの影響を表します。性別変数を逆コーディングすることで、男性の従属変数に対する SWLS スコアの影響を得ることができます。

民族グループや実験的処置などのカテゴリ変数を、調整回帰分析における独立変数として扱う場合、各コード変数がカテゴリ変数の特定の設定を表すように変数をコード化する必要がある。コード化には、ダミー変数コード化、効果コード化、対比コード化の 3 つの基本的な方法がある。以下は、これらのコード化システムの概要である。^{[8] [9]}

ダミー コーディングは、他の各実験グループと比較する参照グループまたは特定の 1 つの条件 (実験のコントロール グループなど) がある場合に使用されます。この場合、切片は参照グループの平均であり、標準化されていない各回帰係数は、処理グループの 1 つと参照グループ (またはコントロール グループ) の平均との間の従属変数の差です。このコーディング システムは ANOVA 分析に似ており、研究者が特定の参照グループを持ち、他の各グループをそれと比較したい場合に適しています。

効果コーディングは、特定の比較グループやコントロール グループがなく、直交対比も計画されていない場合に使用されます。切片は総平均 (すべての条件の平均) です。回帰係数は、1 つのグループの平均とすべてのグループの平均の差です (例: グループ A の平均からすべてのグループの平均を引いたもの)。このコーディング システムは、グループが自然なカテゴリを表す場合に適しています。

コントラスト コーディングは、一連の直交コントラストまたはグループ比較を調査する場合に使用されます。この場合、切片は個々のグループ平均の非加重平均です。標準化されていない回帰係数は、1 つのグループ (A) の平均の非加重平均と別のグループ (B) の平均の非加重平均の差を表します。ここで、A と B は、コントラスト内の 2 つのグループ セットです。このコーディング システムは、研究者がグループ平均間の特定の差に関して事前の仮説を持っている場合に適しています。

独立変数が両方とも連続変数である場合、独立変数XとZを中心化または標準化すると解釈に役立ちます。(中心化では、元のスコアから全体のサンプル平均スコアを減算します。標準化では、同じことを行った後、全体のサンプル標準偏差で割ります。) 独立変数を中心化または標準化することで、XまたはZの係数は、他の独立変数の平均レベルでのその変数の Y への影響として解釈できます。^[10]

交互作用効果を調べるには、Zの低い値と高い値でXがYに与える影響をプロットすると役立つことが多いです ( Zの中程度の値での効果もプロットすることを好む人もいますが、これは必須ではありません)。多くの場合、平均値より 1 標準偏差上と下のZ値がこのために選択されますが、任意の妥当な値を使用できます (場合によっては、より意味のある値を選択できます)。プロットは通常、XとZ の両方の高値と低値でYの値を評価し、2 つのZ値でXがYに与える影響を表す 2 本の線を作成することによって描かれます。場合によっては、単純な傾斜分析によってこれが補完され、特定の Z値でXがYに与える影響が統計的に有意であるかどうかが判断されます。単純な傾斜分析の一般的な手法は、ジョンソン-ネイマン アプローチです。^[11]研究者がこのような双方向の交互作用をプロットして解釈するのに役立つ、さまざまなインターネットベースのツールが存在します。^[12]

2 方向の相互作用の原則は、 3 方向またはより高レベルの相互作用を調査する場合に適用されます。たとえば、A、B、Cの間に 3 方向の相互作用がある場合、回帰方程式は次のようになります。

${\displaystyle Y=b_{0}+b_{1}A+b_{2}B+b_{3}C+b_{4}A\cdot B+b_{5}A\cdot C+b_{6}B\cdot C+b_{7}A\cdot B\cdot C+\varepsilon .}$

注目すべきは、高次の項の信頼性は低次の項の信頼性に依存するということです。たとえば、変数Aの信頼性が0.70、変数Bの信頼性が0.80で、それらの相関がr  = 0.2の場合、相互作用変数A  *  Bの信頼性はです。^[13]この場合、相互作用項の信頼性が低いと検出力も低くなります。そのため、実際に存在するAとBの相互作用効果を見つけることができない可能性があります。この問題の解決策は、各独立変数に対して信頼性の高い尺度を使用することです。 ${\displaystyle ((0.7\times 0.8)+0.2^{2})/(1+0.2^{2})=0.577}$

相互作用効果を解釈する際のもう 1 つの注意点は、変数Aと変数B の相関が高い場合、 A  *  B項は省略された変数 A ²と高い相関があることです。したがって、有意な緩和効果のように見えるものが、実際にはA単独の有意な非線形効果である可能性があります。この場合、相互作用が依然として有意であるかどうかを確認するために、個々の変数の非線形項を緩和回帰分析に追加して、非線形回帰モデルをテストする価値があります。相互作用効果A * Bが依然として有意である場合、緩和効果が確かに存在するとより自信を持って言えます。ただし、非線形項を追加した後で相互作用効果が有意でなくなった場合は、緩和効果の存在について確信が持てず、より簡潔な非線形モデルが好まれます。

調整回帰分析では、興味のない共変量として概念化される追加変数も含まれる傾向があります。ただし、これらの共変量の存在は、(1)共変量 ( C ) が関心のある主要変数の 1 つ (変数AまたはBなど) と相関している場合、または (2)共変量自体がAまたはBとYの相関の調整因子である場合に、偽の効果を誘発する可能性があります。^{[14] [15] [16]}解決策は、各交絡因子と主要変数との相互作用について、モデルに追加の相互作用項を含めることです。

${\displaystyle Y=b_{0}+b_{1}A+b_{2}B+b_{3}C+b_{4}A\cdot B+b_{5}A\cdot C+b_{6}B\cdot C+\varepsilon }$

• 省略変数バイアス

• Hayes, AF、Matthes, J. (2009)。「OLS およびロジスティック回帰における相互作用を調査するための計算手順: SPSS および SAS の実装」Behavior Research Methods、第 41 巻、924 ～ 936 ページ。