一般線形モデル

一般線型モデルまたは一般多変量回帰モデルは、複数の多重線型回帰モデルを同時に記述するコンパクトな方法です。その意味では、独立した統計線型モデルではありません。さまざまな多重線型回帰モデルは、 ^[1]のようにコンパクトに記述できます。

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} \mathbf {B} +\mathbf {U} ,}$

ここで、Yは一連の多変量測定値を含む行列（各列は従属変数の 1 つに関する測定値のセット）、Xは独立変数に関する観測値の行列（設計行列の可能性がある）、B は通常推定されるパラメータを含む行列、Uは誤差（ノイズ）を含む行列です。 誤差は通常、測定値間で相関がないと想定され、多変量正規分布に従います。 誤差が多変量正規分布に従わない場合は、一般化線型モデルを使用して、 YとUに関する仮定を緩和することができます。

一般線型モデルには、ANOVA、ANCOVA、MANOVA、MANCOVA、通常の線型回帰、t検定、F検定など、さまざまな統計モデルが組み込まれています。一般線型モデルは、多重線型回帰を複数の従属変数の場合に一般化したものです。Y 、B、Uが列ベクトルである場合、上記の行列方程式は多重線型回帰を表します。

一般線形モデルによる仮説検定は、多変量検定または複数の独立した単変量検定の 2 つの方法で行うことができます。多変量検定では、Yの列は一緒に検定されますが、単変量検定では、 Yの列は独立して、つまり、同じ設計マトリックスを持つ複数の単変量検定として検定されます。

多重線形回帰は、複数の独立変数がある場合の単純線形回帰の一般化であり、従属変数が1つに限定された一般線形モデルの特殊なケースです。多重線形回帰の基本モデルは、

${\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i1}+\beta _{2}X_{i2}+\ldots +\beta _{p}X_{ip}+\epsilon _{i}}$あるいはもっと簡潔に${\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\sum \limits _{k=1}^{p}{\beta _{k}X_{ik}}+\epsilon _{i}}$

各観測値i = 1, ... , nについて。

上記の式では、 1 つの従属変数とp 個の独立変数のn 個の観測値を考慮します。したがって、Y _iは従属変数のi^{番目の観測値、} X _ikはk^番目の独立変数のk^番目の観測値( j = 1、2、...、p)です。値β _{j は}推定されるパラメータを表し、ε _{i は}i^番目の独立した同一分布正規誤差 です。

より一般的な多変量線形回帰では、同じ説明変数セットを共有し、したがって互いに同時に推定される m > 1の従属変数ごとに、上記の形式の方程式が 1 つあります。

${\displaystyle Y_{ij}=\beta _{0j}+\beta _{1j}X_{i1}+\beta _{2j}X_{i2}+\ldots +\beta _{pj}X_{ip}+\epsilon _{ij}}$あるいはもっと簡潔に${\displaystyle Y_{ij}=\beta _{0j}+\sum \limits _{k=1}^{p}{\beta _{kj}X_{ik}}+\epsilon _{ij}}$

i = 1, ... , nとしてインデックス付けされたすべての観測値と、 j = 1, ... , mとしてインデックス付けされたすべての従属変数について。

各従属変数には適合すべき独自の回帰パラメータ セットがあるため、計算の観点からは、一般的な多変量回帰は、同じ説明変数を使用する標準的な多重線形回帰のシーケンスにすぎないことに注意してください。

一般線型モデルと一般化線型モデル（GLM）^{[2] [3]は、いくつかの連続}予測変数および/またはカテゴリ予測変数を単一の結果変数に関連付けるために一般的に使用される2つの統計的手法ファミリーです。

2つのアプローチの主な違いは、一般線型モデルでは残差が条件付き 正規分布に従うと厳密に仮定するのに対し、^{[4] GLMではこの仮定を緩め、残差に対して}指数族からのさまざまな他の分布を許容することです。^[2]注目すべきは、一般線型モデルはGLMの特殊なケースであり、残差の分布が条件付き正規分布に従うことです。

残差の分布は、結果変数の種類と分布に大きく依存します。結果変数の種類が異なると、GLM ファミリー内のモデルも多様化します。GLM ファミリーでよく使用されるモデルには、バイナリまたは二値結果用のバイナリ ロジスティック回帰^{[5] 、カウント結果用の}ポアソン回帰^[6]、連続的で正規分布する結果用の線形回帰などがあります。つまり、GLM は一般的な統計モデル ファミリーとして、または特定の結果タイプ用の特定のモデルとして語られることがあります。

一般線形モデルの応用は、科学実験における複数の脳スキャンの分析に見られる。Yには脳スキャナーからのデータ、Xには実験設計変数と交絡因子が含まれる。これは通常、単変量法（この設定では通常、マス単変量と呼ばれる）でテストされ、統計的パラメトリックマッピングと呼ばれることが多い。^[12]

• ベイズ多変量線形回帰
• F検定
• t検定

• クリステンセン、ロナルド（2020）。複雑な質問への平面的な答え：線形モデルの理論（第5版）。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 978-3-030-32096-6。
• Wichura, Michael J. (2006).線形モデルへの座標フリーアプローチ。ケンブリッジ統計および確率数学シリーズ。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。pp. xiv+ 199。ISBN 978-0-521-86842-6. MR  2283455。
• ローリングス、ジョン・O. 、パントゥラ、サストリー・G.、ディッキー、デビッド・A.、編（1998）。応用回帰分析。Springer Texts in Statistics。doi ：10.1007/b98890。ISBN 0-387-98454-2。