ハーヴィッツ安定行列

数学において、フルヴィッツ安定行列[ ^1] 、またはより一般的には単にフルヴィッツ行列^[2]は、すべての固有値の実部が厳密に負である正方行列 です。 一部の著者は安定性行列という用語も使用します。^{[2]このような行列は}制御理論で重要な役割を果たします。

正方行列は 、のすべての固有値が厳密に負の実部を持つ場合、つまり、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {Re} [\lambda _{i}]<0\,}$

各固有値に対しては、安定行列とも呼ばれます。なぜなら、その場合、微分方程式${\displaystyle \lambda_{i}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$

は漸近的に安定であり、すなわち${\displaystyle x(t)\to 0}$${\displaystyle t\to \infty .}$

が（行列値）伝達関数である場合、のすべての要素の極が負の実部を持つとき、 はフルヴィッツと呼ばれます。特定の引数がフルヴィッツ行列である必要はなく、正方行列である必要さえありません。 がフルヴィッツ行列である場合、力学系${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G(s),}$${\displaystyle s,}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$

ハーウィッツ伝達関数を持ちます。

連続的な力学系の任意の双曲型固定点（または平衡点）は、その力学系のヤコビアンが固定点でフルヴィッツ安定である 場合にのみ、局所的に漸近的に安定です。

フルヴィッツの安定性行列は、制御理論の重要な部分です。制御行列がフルヴィッツ行列である場合、システムは安定しています。行列の固有値の負の実数成分は、負のフィードバックを表します。同様に、いずれかの固有値が正の実数成分を持ち、正のフィードバックを表す場合、システムは本質的に不安定です。

• M行列
• ペロン・フロベニウスの定理は、任意のフルヴィッツ行列には少なくとも1つの負の要素が必要であることを示している。
• Zマトリックス

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• 「ハーウィッツ行列」。PlanetMath 。