マハラムの定理

数学において、マハラムの定理は、測度空間の分解可能性に関する深い結果であり、バナッハ空間の理論で重要な役割を果たしている。簡単に言えば、それは、任意の完全な測度空間は、ある離散空間上の計数測度を使用して、「非原子部分」（実数上の単位区間[0,1]の積のコピー）と「純粋に原子的な部分」に分解可能であることを述べている。^{[1]この定理は}ドロシー・マハラムによるものである。これは、アーヴィング・シーガルによって局所化可能な測度空間に拡張された。^[2]

この結果は古典的なバナッハ空間理論にとって重要であり、一般の可測空間上の可測関数のL _p空間として与えられたバナッハ空間を考えるとき、それを非原子部分と原子部分への分解の観点から理解すれば十分である。

マハラムの定理は、アーベル フォン ノイマン代数の言語に翻訳することもできます。すべてのアーベル フォン ノイマン代数は、 σ 有限アーベル フォン ノイマン代数の積に同型であり、すべてのσ 有限アーベル フォン ノイマン代数は、離散アーベル フォン ノイマン代数の空間テンソル積、つまり離散集合上の有界関数の代数に同型です。

同様の定理がカジミエシュ・クラトフスキによってポーランド空間に対して与えられ、ポーランド空間はボレル空間として実数、整数、または有限集合 のいずれかに同型であると述べられました。