ルジン空間

数学において、ルージン空間（ルージンかん、Lusin space）は、NN ルージンにちなんで名付けられ、孤立点のない非可算な位相T ₁空間であり、その空間内のどこにも稠密でない部分集合はすべて可算である。この定義には多くの細かいバリエーションが使用されており、T _1条件はT ₂または T ₃に置き換えられ、著者によっては可算数または任意の数の孤立点を許容している。

ルージン空間の存在は、 ZFCの公理とは独立している。ルージン (1914) は、連続体仮説はルージン空間が存在することを意味することを示した。クネン (1977) は、マーティンの公理と連続体仮説の否定を仮定すると、ハウスドルフルージン空間は存在しないことを示した。

実解析と記述集合論において、ルージン集合（またはルージン集合）は、実数の非可算部分集合Aであって、 Aのすべての非可算部分集合が非乏しい、つまり第 2ベールの範疇であるものとして定義される。同様に、A は、すべての第 1 範疇集合と可算な点のみで一致する実数の非可算集合である。ルージンは、連続体仮説が成り立つならば、すべての非乏しい集合にはルージン部分集合があることを証明した。ルージン集合の明らかな特性は、それが非乏しいものでなければならない（そうでなければ、集合自体は非可算な乏しい部分集合である）ことと、測度が 0 であることである。なぜなら、正の測度のすべての集合には、同じく正の測度を持つ乏しい集合が含まれており、したがってそれは可算ではないからである。弱ルージン集合は、実ベクトル空間の無数部分集合であり、任意の無数部分集合に対して、部分集合の異なる要素間の方向の集合が方向の球面内で稠密であるような集合である。

測度-圏双対性は、ルージン集合の測度類似体を提供します。ルージン集合は、すべての非可算な部分集合が正の外部測度を持つ集合です。これらの集合は、ヴァツワフ・シェリンスキーにちなんで、シェリンスキー集合と呼ばれます。シェリンスキー集合は弱ルージン集合ですが、ルージン集合ではありません。

Rの 2 ^{ℵ _{0 個}}の希薄部分集合のコレクションを選択し、すべての希薄部分集合がそれらの 1 つに含まれるようにします。連続体仮説により、可算順序数αに対してそれらをS _αとして列挙することができます。各可算順序数βに対して、 α < βに対してどの集合S _αにも含まれない実数x _{β を}選択します。これは、これらの集合の和集合が希薄であるためR全体ではないため可能です。すると、これらすべての実数x _βの非可算集合X には、各集合S _αに可算数の要素のみが含まれるため、ルージン集合になります。

この構成のより複雑なバリエーションは、実数の サブグループ、サブフィールド、または実閉サブフィールドであるルージン集合の例を生成します。

• アルハンゲルスキー、AV（1978）、「位相空間と基数不変量の構造と分類」、ロシア数学調査、33（6）：33–96、doi：10.1070 / RM1978v033n06ABEH003884ルージン空間について言及した論文
• エフィモフ、BA (2001) [1994]、「ルージン空間」、数学百科事典、EMSプレス
• クネン、ケネス(1977)、「ルージン空間」、トポロジー議事録、第 1 巻 (会議、オーバーン大学、オーバーン、アラバマ州、1976)、pp. 191–199、MR  0450063
• ルシン、NN (1914)、「Sur un problème de M. Baire」、CR Acad。科学。パリ、158 : 1258–1261
• オクストビー、ジョン・C.（1980）、測度とカテゴリー：位相空間と測度空間の類似性の調査、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-90508-1