ルビン・テイト形式群法則

数学において、ルビン・テイトの形式群法則は、楕円関数の複素乗算の古典理論の局所体部分を分離するためにルビンとテイト (1965)によって導入された形式群法則である。特に、局所体の全分岐アーベル拡大を構成するために使用できる。これは、形式群の (形式) 自己準同型性を考慮して行われ、余分な自己準同型性を持つ楕円曲線を使用して大域体のアーベル拡大を与える方法をエミュレートします。

Z _{p を}p進整数環とする。ルビン・テイト形式群法則は、 e ( x ) =  px  +  x ^pがFの自己準同型となる唯一の（1次元）形式群法則F である。言い換えると、

${\displaystyle e(F(x,y))=F(e(x),e(y)).\ }$

より一般的には、 eは任意のべき級数として 選択することができ、

e ( x ) = px  + 高次項および

^pを法 として e ( x )を記述します。

このような群法則は、eの異なる選択に対して、これらの条件を満たす限り、厳密に同型である。^{[1]これらの条件は、最大イデアルを法としてフロベニウスに簡約され、原点における導関数が}素元と なるように選択される。

Z _pの各元aに対して、 f ( x ) = ax + 高次項となるような Lubin–Tate 形式群法則の一意の自己準同型fが存在する。これにより、Lubin–Tate 形式群法則に対する環Z _p の作用が得られる 。

同様の構成として、Z _{p を}有限剰余類体を持つ任意の完全離散評価環に置き換えたものもある。ここで、指数p は剰余体の位数に置き換えられ、係数pは均一化子の選択に置き換えられる。^[2]

ここでは、類体理論において非常に重要なフロベニウス元^[3]に相当する形式群を概説し、相互写像の像として 最大非分岐拡大を生成する。

この例では、形式群の準同型性の概念が必要です。これは、定義域が余定義域である形式群準同型fです。形式群Fから形式群Gへの形式群準同型性は、形式群と同じ環上の冪級数であり、定数項は 0 であり、次のようになります。

${\displaystyle f(F(X,Y))=G(f(X),f(Y))}$

局所体（たとえばZ _p）の整数環に係数を持つ形式群F(X,Y)を考えます。 XとY を唯一の最大イデアルに含めると、収束する冪級数が得られ、この場合、F(X,Y) = X + _F Yと定義し、真の群法則が得られます。たとえば、F(X,Y)=X+Yの場合、これは通常の加算です。これは、F(X,Y)=X+Y+XYの場合と同型で、ここでは素イデアルの元に 1 を加えたものとして表すことができる元のセットに対する乗算があります。後者の場合、f(S) = ( 1 + S ) ^p -1 は F の自己準同型であり、同型は f をフロベニウス元と同一視します。

ルビン-テイト理論は、明示的局所類体理論において重要である。任意のアーベル拡大の非分岐部分は簡単に構築できるが、ルビン-テイトは分岐部分を生成する際にその価値を見出す。これは、自身と繰り返し合成されるべき級数の根と見なせるものからなる整数の環上のモジュール族（自然数でインデックス付けされる）を定義することによって機能する。このようなモジュールを元の体に付加して形成されるすべての体の合成は、分岐部分を与える。

局所体KのLubin –Tate 拡大は、Lubin–Tate 群のp分割点を考慮して得られるKのアーベル拡大です。gがアイゼンシュタイン多項式、f ( t ) = t g ( t ) でF がLubin–Tate 形式群である場合、 θ _{n は}gf ^{n -1} ( t )= g ( f ( f (⋯( f ( t ))⋯))) の根を表します。すると、K (θ _n ) は、ガロア群がU /1+ p ⁿに同型であるKのアーベル拡大です。ここで、UはKの整数環の単位群で、p は最大イデアルです。^[2]

ルービンとテイトはそのような形式群の変形理論を研究した。この理論のその後の応用は安定ホモトピー理論の分野であり、与えられた素数pの構成に関連する特別なコホモロジー理論の構築を伴う。形式群の一般的な仕組みの一部として、スペクトルを持つコホモロジー理論がルービン-テイト形式群に対して設定され、これはモラヴァ E 理論または完成されたジョンソン-ウィルソン理論とも呼ばれる。^[4]

• Lurie, J. (2010)、ルビン・テイト理論(PDF)