自然密度

数論において、自然密度は漸近密度または算術密度とも呼ばれ、自然数の集合のサブセットがどれだけ「大きい」かを測定する方法の 1 つです。これは主に、 n が大きくなるにつれて区間[1, n ]を調べたときに目的のサブセットのメンバーに遭遇する確率に依存します。

直観的には、すべての完全平方はすでに正であり、その他にも多くの正の整数が存在するため、完全平方よりも正の整数の方が多いと考えられます。しかし、正の整数の集合は実際には完全平方の集合よりも大きくはありません。両方の集合は無限かつ可算であり、したがって1 対 1で対応させることができます。それでも、自然数を調べていくと、平方数はますます少なくなります。自然密度の概念により、この直観は自然数の多くのサブセットに対して正確になりますが、すべてではありません (自然密度に似ていますが、 のすべてのサブセットに対して定義されているシュニレルマン密度 を参照してください)。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

整数が区間[1, n ]からランダムに選択される場合、それがAに属する確率は、Aの[1, n ]内の要素の数と[1, n ]内の要素の総数の比です。この確率がn が無限大に近づくにつれてある極限に近づく場合、この極限はAの漸近密度と呼ばれます。この概念は、集合Aから数字を選択する一種の確率として理解できます。実際、漸近密度 (およびその他の種類の密度) は確率的数論で研究されています。

正の整数の部分集合Aが自然密度α を持つとすると、 1 からnまでのすべての 自然数の中でのAの要素の割合は、 n が無限大に近づくにつれてαに収束します。

より明確に言えば、任意の自然数nに対して、計数関数 a ( n )をAのn以下の要素の数として定義すると、Aの自然密度αは^[1]

定義から、集合A が自然密度α を持つ場合、0 ≤ α ≤ 1 となることがわかります。

を自然数集合のサブセットとします。任意の について、 を共通部分と定義し、が より小さいかそれに等しい要素の数であるとします。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}.}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle A(n)}$${\displaystyle A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A,}$${\displaystyle a(n)=|A(n)|}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$

の上漸近密度 （「上密度」とも呼ばれる） を次のように定義します。 ここで、lim sup は上限値です。 ${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$$

同様に、の下側漸近密度 (「下側密度」とも呼ばれる) を で 定義します。 ここで、lim inf は の下側の極限です。 の場合、 は漸近密度を持つと言えます。その場合、 はこの共通値に等しくなります。 ${\displaystyle {\underline {d}}(A)}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle d(A)}$${\displaystyle {\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)}$${\displaystyle d(A)}$

この定義は次のように言い換えることができる: この制限が存在する場合。^[2]$${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$$

これらの定義は、次のように表現することもできます^[要出典] 。のサブセットが与えられた場合、それを自然数でインデックス付けされた増加シーケンスとして記述します。 極限が存在する場合、および と なり ます。${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {N} }$$${\displaystyle A=\{a_{1}、a_{2}、\ldots \}。}$$$${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},}$$ $${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$$$${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$$

密度のやや弱い概念は集合の上バナッハ密度 である。 これは次のように定義される。 ${\displaystyle d^{*}(A)}$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} .}$$${\displaystyle d^{*}(A)=\limsup _{NM\rightarrow \infty}{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}.}$$

• 正の整数の有限集合 Fに対して、 d ( F ) = 0 です。
• ある集合Aに対してd ( A ) が存在し、A ^{c が}に関するその補集合を表す場合、d ( A ^c ) = 1 − d ( A ) となります。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$
  • 系:が有限である場合（ の場合も含む）、 ${\displaystyle F\subset \mathbb {N} }$${\displaystyle F=\emptyset }$${\displaystyle d(\mathbb {N} \setminus F)=1.}$
• とが存在する場合、${\displaystyle d(A),d(B),}$${\displaystyle d(A\cup B)}$$${\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}.}$$
• がすべての正方形の集合である場合、 d ( A ) = 0 です。${\displaystyle A=\{n^{2}:n\in \mathbb {N} \}}$
• がすべての偶数の集合である場合、 d ( A ) = 0.5となる。同様に、任意の等差数列に対しては、${\displaystyle A=\{2n:n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle A=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle d(A)={\tfrac {1}{a}}.}$
• すべての素数の集合Pについては、素数定理からd ( P ) = 0となります。
• すべての平方根のない整数の集合は密度を持ちます。より一般的には、任意の自然数nに対するすべてのn^乗のない数の集合は密度を持ちます。ここで、はリーマン ゼータ関数です。${\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (n)}},}$${\displaystyle \zeta (n)}$
• 過剰数の集合は非ゼロの密度を持つ。^[3] マルク・デレグリーズは1998年に過剰数の集合の密度が0.2474から0.2480の間であることを示した。^[4]
• 2進展開で奇数の桁数を含む数の集合は漸近密度を持たない集合の例である。この集合の上限密度はであるのに対し、下限密度はである。$${\displaystyle A=\bigcup _{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\right\}}$$$${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}},}$$$${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}.}$$
• 同様に、 10進展開が数字1で始まる数の集合には自然密度がありません。つまり、下限密度は1/9、上限密度は5/9です。 ^[1]（ベンフォードの法則を参照）。
• における等分布列 を考え、単調な集合族を定義します。すると、定義により、すべての に対して となります。${\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}}$$${\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} :\alpha _{n}<x\}.}$$${\displaystyle d(A_{x})=x}$${\displaystyle x}$
• Sが正の上密度の集合である場合、セメレディの定理はS が任意の大きさの有限等差数列を含むことを述べ、フュルステンベルク・サルコジの定理はSのいくつかの 2 つの要素が平方数だけ異なることを述べます。

自然数のサブセット上の他の密度関数も同様に定義できる。例えば、集合Aの対数密度は、（存在する場合）極限として定義される。

${\displaystyle \mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}\ .}$

上限と下限の対数密度も同様に定義されます。

ダベンポート・エルデシュの定理によれば、整数列の倍数の集合に対して、自然密度が存在する場合、それは対数密度に等しいとされている。^[5]

• ディリクレ密度
• 等差数列に関するエルデシュ予想

• ナサニソン、メルヴィンB. (2000)。数論における初等的方法。数学の大学院テキスト。第 195 巻。Springer- Verlag。ISBN 978-0387989129.ZBL0953.11002  .​
• ニーヴン、イヴァン (1951)。「数列の漸近密度」。アメリカ数学会報。57 (6):  420–434。doi : 10.1090 / s0002-9904-1951-09543-9。MR 0044561。Zbl 0044.03603  。
• Steuding, Jörn (2002). 「確率的数論」(PDF) 。 2011年12月22日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2014年11月16日閲覧。
• テネンバウム、ジェラルド (1995)。解析的および確率的数論入門。ケンブリッジ高等数学研究。第 46 巻。ケンブリッジ大学出版局。Zbl 0831.11001  。

この記事には、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathの Asymptotic concentration の資料が組み込まれています。