半経験的質量公式

原子核物理学において、半経験的質量公式( SEMF ) (ベーテ–ヴァイツゼッカー公式、ベーテ–ヴァイツゼッカー公式、またはベーテ–ヴァイツゼッカー質量公式とも呼ばれ、ベーテ–ヴァイツゼッカー過程と区別する) は、原子核の質量を陽子と中性子の数から概算するのに使用される。名前が示すように、この公式は部分的に理論に、部分的に経験的測定に基づいている。この公式は、ジョージ・ガモフ^[1]によって提唱された液滴モデルを表しており、このモデルは公式のほとんどの項を説明し、係数の値のおおよその見積もりを与える。この公式は1935年にドイツの物理学者カール・フリードリヒ・フォン・ヴァイツゼッカー^[2]によって初めて定式化され、長年にわたって係数が改良されてきたが、公式の構造は今日まで変わっていない。

この式は原子質量とそれに伴う他の効果について良好な近似値を与える。しかし、特定の数の陽子と中性子でより大きな結合エネルギーの線が存在することを説明できない。これらの数は魔法数と呼ばれ、原子核殻モデルの基礎となる。

液滴モデルはジョージ・ガモフによって最初に提唱され、ニールス・ボーア、ジョン・アーチボルド・ホイーラー、リーゼ・マイトナーによってさらに発展させられました。^[3]このモデルでは、原子核を非常に高密度の非圧縮性流体の滴として扱い、核力（強い力の残留効果）によってまとめ上げており、球状の液滴の構造に類似しています。粗雑なモデルではありますが、液滴モデルはほとんどの原子核の球形を考慮し、結合エネルギーの大まかな予測を行います。

対応する質量式は、含まれる陽子と中性子の数のみに基づいて定義されます。元のワイツゼッカー式では、次の 5 つの項が定義されています。

• 体積エネルギーとは、同じ大きさの核子の集合体が最小の体積に詰め込まれたとき、それぞれの内部核子は一定数の他の核子と接触している状態を指します。したがって、この核エネルギーは体積に比例します。
• 表面エネルギーは、すべての核子が同数の他の核子と相互作用するという以前の仮定を修正します。この項は負で表面積に比例するため、液体の表面張力とほぼ等しくなります。
• クーロンエネルギーは、各陽子対から得られる位置エネルギーです。これは反発力なので、結合エネルギーは減少します。
• 非対称エネルギー（パウリエネルギーとも呼ばれる）は、パウリの排他原理を説明します。中性子と陽子の数が不均等な場合、一方の種類の粒子の高エネルギーレベルが満たされ、もう一方の種類の粒子の低エネルギーレベルが空のままになります。
• 対形成エネルギー。これは陽子対と中性子対が発生する傾向を説明します。スピン結合により、粒子の数が偶数の場合は奇数の場合よりも安定します。

原子核の質量は、中性子、陽子、そして核子について次のように表される。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A=N+Z}$

${\displaystyle m=Zm_{H_{1}}+Nm_{\text{n}}-{\frac {E_{\text{B}}(N,Z)}{c^{2}}},}$

ここで、およびはそれぞれ陽子と中性子の静止質量であり、は原子核の結合エネルギーである。半経験的質量公式によれば、結合エネルギーは^{[4]である。}${\displaystyle m_{\text{p}}}$${\displaystyle m_{\text{n}}}$${\displaystyle E_{\text{B}}}$

${\displaystyle E_{\text{B}}=a_{\text{V}}A-a_{\text{S}}A^{2/3}-a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}-a_{\text{A}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}\pm \delta (N,Z).}$

項は、との偶奇性に応じて、ゼロまたは になります。ただし、ある指数 の場合です。として、項の分子はと書き直すことができることに注意してください。 ${\displaystyle \delta (N,Z)}$${\displaystyle \pm \delta _{0}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \delta _{0}={a_{\text{P}}}{A^{k_{\text{P}}}}}$${\displaystyle k_{\text{P}}}$${\displaystyle A=N+Z}$${\displaystyle a_{\text{A}}}$${\displaystyle (A-2Z)^{2}}$

この式の各項には理論的根拠がある。係数、、、、 は経験的に決定される。これらは実験から導かれることもあるが、通常は最新のデータへの最小二乗近似から導かれる。通常は基本的な 5 つの項で表現されるが、追加の現象を説明するためにさらに項が存在する。多項式近似を変更すると係数が変化するのと同様に、新しい現象が導入されるとこれらの係数間の相互作用は複雑になる。一部の項は互いに影響し合うが、項は大部分が独立している。^[5]${\displaystyle a_{\text{V}}}$${\displaystyle a_{\text{S}}}$${\displaystyle a_{\text{C}}}$${\displaystyle a_{\text{A}}}$${\displaystyle a_{\text{P}}}$${\displaystyle a_{\text{P}}}$

この項は体積項として知られています。原子核の体積はAに比例するので、この項は体積に比例し、それが名前の由来となっています。 ${\displaystyle a_{\text{V}}A}$

この項の根拠は強い核力です。強い力は陽子と中性子の両方に影響し、予想どおり、この項はZとは無関係です。A粒子から取り出せるペアの数は であるため、 に比例する項が期待できます。ただし、強い力の範囲は非常に限られており、特定の核子は最も近い隣接核子と次に近い隣接核子とのみ強く相互作用します。したがって、実際に相互作用する粒子のペアの数はAにほぼ比例し、体積項の形が決まります。 ${\displaystyle A(A-1)/2}$${\displaystyle A^{2}}$

係数は、核子が隣接する核子に対して持つ結合エネルギー（）よりも小さく、約40  MeVです。これは、パウリの排他原理により、核子の数が多いほど運動エネルギーが大きくなるためです。核子を、陽子と中性子の数が等しい核子のフェルミ球として扱うと、全運動エネルギーは となり、フェルミエネルギーは 38 MeVと 推定されます。したがって、このモデルにおけるの期待値は、測定値からそれほど離れていません。 ${\displaystyle a_{\text{V}}}$${\displaystyle E_{\text{b}}}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}A\varepsilon _{\text{F}}}$${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$${\displaystyle a_{\text{V}}}$${\displaystyle E_{\text{b}}-{\tfrac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}\sim 17~\mathrm {MeV} ,}$

この項は表面項として知られています。この項も強い力に基づいており、体積項に対する補正です。 ${\displaystyle a_{\text{S}}A^{2/3}}$

体積項は、各核子がAとは無関係に一定数の核子と相互作用することを示唆しています。これは、原子核の奥深くにある核子についてはほぼ当てはまりますが、原子核の表面にある核子には最も近い核子の数が少ないため、この補正が正当化されます。これは表面張力項としても考えられ、実際、同様のメカニズムが液体の 表面張力を生み出します。

原子核の体積がAに比例する場合、半径は に比例し、表面積は に比例するはずです。これにより、表面積項が に比例する理由が説明されます。は と同じような大きさのオーダーであるはずだと推測することもできます。 ${\displaystyle A^{1/3}}$${\displaystyle A^{2/3}}$${\displaystyle A^{2/3}}$${\displaystyle a_{\text{S}}}$${\displaystyle a_{\text{V}}}$

または という用語は、クーロン項または静電項として知られています。 ${\displaystyle a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}}$${\displaystyle a_{\text{C}}{\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}}$

この用語の根拠は、陽子間の静電反発力です。非常に大まかに言えば、原子核は均一な電荷密度の球体とみなすことができます。このような電荷分布の位置エネルギーは次のように表すことができます。

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}},}$

ここで、Qは全電荷、R は球の半径です。 の値は、経験的な核半径およびQ = Zeを使​​用して、この式を使用して位置エネルギーを計算することで近似的に計算できます。ただし、静電反発は 1 つ以上の陽子に対してのみ存在するため、は次のようになります。 ${\displaystyle a_{\text{C}}}$${\displaystyle R\approx r_{0}A^{\frac {1}{3}}}$${\displaystyle Z^{2}}$${\displaystyle Z(Z-1)}$

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}}={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(Ze)^{2}}{r_{0}A^{1/3}}}={\frac {3e^{2}Z^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}\approx {\frac {3e^{2}Z(Z-1)}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}=a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}},}$

ここで静電クーロン定数は ${\displaystyle a_{\text{C}}}$

${\displaystyle a_{\text{C}}={\frac {3e^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}.}$

微細構造定数を用いて の値を次のように 書き直すことができる。${\displaystyle a_{\text{C}}}$

${\displaystyle a_{\text{C}}={\frac {3}{5}}{\frac {\hbar c\alpha }{r_{0}}}={\frac {3}{5}}{\frac {R_{\text{P}}}{r_{0}}}\alpha m_{\text{p}}c^{2},}$

ここで、は微細構造定数、 は原子核の半径で、は約 1.25 フェムトメートルになります。は陽子換算コンプトン波長、 は陽子の質量です。これにより、おおよその理論値は 0.691  MeVとなり、測定値とそれほど変わりません。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle r_{0}A^{1/3}}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle R_{\text{P}}}$${\displaystyle m_{\text{p}}}$${\displaystyle a_{\text{C}}}$

この項は非対称項（またはパウリ項）として知られています。 ${\displaystyle a_{\text{A}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}}$

この用語の理論的根拠はより複雑です。パウリの排他原理は、2 つの同一の フェルミオンが原子内でまったく同じ量子状態を占めることはできないと述べています。特定のエネルギー レベルでは、粒子に使用できる量子状態は有限個しかありません。原子核では、これが意味するのは、より多くの粒子が「追加」されると、これらの粒子はより高いエネルギー レベルを占めなければならず、原子核の総エネルギーが増加する (結合エネルギーが減少する) ということです。この効果は、基本的な力 (重力、電磁気など) のいずれにも基づいておらず、パウリの排他原理のみに基づいていることに注意してください。

陽子と中性子は異なる種類の粒子であるため、異なる量子状態を占めます。2 つの異なる状態の「プール」、つまり陽子用と中性子用を考えることができます。さて、たとえば、原子核内に陽子よりも中性子のほうがはるかに多い場合、一部の中性子のエネルギーは陽子プールで利用可能な状態よりも高くなります。一部の粒子を中性子プールから陽子プールに移動させる、つまり一部の中性子を陽子に変更することができれば、エネルギーを大幅に減らすことができます。陽子と中性子の数の不均衡により、特定の核子数に対して、エネルギーが必要以上に高くなります。これが非対称項の基礎です。

非対称項の実際の形は、原子核を陽子と中性子のフェルミ球としてモデル化することで再び導き出すことができる。その全運動エネルギーは

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}(Z\varepsilon _{\text{F,p}}+N\varepsilon _{\text{F,n}}),}$

ここで、およびは陽子と中性子のフェルミエネルギーである。これらはそれぞれおよび に比例するので、${\displaystyle \varepsilon _{\text{F,p}}}$${\displaystyle \varepsilon _{\text{F,n}}}$${\displaystyle Z^{2/3}}$${\displaystyle N^{2/3}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=C(Z^{5/3}+N^{5/3})}$ある定数Cに対して。

差の展開における主要項は、 ${\displaystyle N-Z}$

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {C}{2^{2/3}}}\left(A^{5/3}+{\frac {5}{9}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A^{1/3}}}\right)+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.}$

展開のゼロ次では、運動エネルギーは全体のフェルミエネルギー に を掛け合わせたものである。したがって、 ${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}\equiv \varepsilon _{\text{F,p}}=\varepsilon _{\text{F,n}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}A}$

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}A+{\frac {1}{3}}\varepsilon _{\text{F}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.}$

最初の項は半経験的質量式の体積項に寄与し、2 番目の項は非対称項を差し引いたものです (運動エネルギーは負の符号で総結合エネルギーに寄与することを覚えておいてください)。

${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$は 38 MeVなので、上の式から計算すると、測定値の半分しか得られません。この食い違いは、私たちのモデルが正確でないことで説明できます。つまり、核子は実際には互いに相互作用し、原子核全体に均等に広がっているわけではありません。たとえば、殻モデルでは、波動関数が重なり合う陽子と中性子は、それらの間の強い相互作用が大きくなり、結合エネルギーも強くなります。これにより、陽子と中性子が同じ量子数（アイソスピン以外）を持つことがエネルギー的に有利になり（つまり、エネルギーが低くなる）、それらの間の非対称性のエネルギーコストが増加します。 ${\displaystyle a_{\text{A}}}$

非対称項は、次のように直感的に理解することもできます。これは絶対差 に依存し、形式は単純かつ微分可能であり、これは式の特定の用途にとって重要です。さらに、ZとNの小さな差は大きなエネルギーコストを伴いません。分母のAは、与えられた差がAの値が大きいほど重要でなくなるという事実を反映しています。 ${\displaystyle |N-Z|}$${\displaystyle (N-Z)^{2}}$${\displaystyle |N-Z|}$

この項はペアリング項（ペアワイズ相互作用とも呼ばれる）として知られている。この項はスピンカップリングの効果を表す。これは^[7]で与えられる。${\displaystyle \delta (A,Z)}$

${\displaystyle \delta (A,Z)={\begin{cases}+\delta _{0}&{\text{for even }}Z,N~({\text{even }}A),\\0&{\text{for odd }}A,\\-\delta _{0}&{\text{for odd }}Z,N~({\text{even }}A),\end{cases}}}$

ここで、経験的には約 1000 keV の値が見つかり、質量数 Aとともにゆっくりと減少します。結合エネルギーは、奇数個の陽子または中性子の 1 つを中性子または陽子に変換することによって増加することがあり、その結果、奇数個の核子は奇数個の隣接核子とペアを形成でき、^{[説明が必要]}、さらにはZ、Nも形成できます。ペアは重なり合う波動関数を持ち、他のどの構成よりも強い結合で非常に接近しています。^[7]ペアリング項を結合エネルギー方程式に代入すると、Z、Nが偶数の場合、ペアリング項によって結合エネルギーが追加され、 Z、Nが奇数の場合、ペアリング項によって結合エネルギーが削除されます。 ${\displaystyle \delta _{0}}$

質量数への依存性は、一般的に次のようにパラメータ化される。

${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{k_{\text{P}}}.}$

指数k _Pの値は、実験による結合エネルギーデータから決定されます。過去にはその値は -3/4 と想定されることが多かったのですが、最近の実験データでは -1/2 の値がより正確であることが示されています。

${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-1/2}}$または${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-3/4}.}$

パウリの排他原理により、スピンアップの陽子の数がスピンダウンの陽子の数と等しい場合、原子核のエネルギーは低くなります。これは中性子にも当てはまります。Z と N が両方とも偶数の場合のみ、陽子と中性子の両方にスピンアップ粒子とスピンダウン粒子が同数存在することになります。これは非対称性項に似た効果です。

この因子は理論的に簡単に説明できません。上で使用したフェルミボール計算は、液滴モデルに基づき相互作用を無視しており、非対称項のように依存性を与えます。つまり、大きな核に対する実際の効果は、そのモデルで予想されるよりも大きくなります。これは、核子間の相互作用によって説明されるはずです。たとえば、殻モデルでは、同じ量子数（スピン以外）を持つ 2 つの陽子は、波動関数が完全に重なり合うため、それらの間の強い相互作用が大きくなり、結合エネルギーが強くなります。これにより、陽子が反対のスピンのペアを形成することがエネルギー的に有利になります（つまり、エネルギーが低くなります）。中性子についても同じことが言えます。 ${\displaystyle A^{k_{\text{P}}}}$${\displaystyle A^{-1}}$

係数は、実験的に測定された原子核の質量に当てはめて計算されます。係数の値は、データに当てはめる方法や質量を表す単位によって異なります。以下にいくつかの例を示します。

この式は原子核の 内部殻構造を考慮していません。

したがって、半経験的質量公式は、重い原子核にはよく適合しますが、非常に軽い原子核、特に⁴ Heには適合しません。軽い原子核の場合、通常はこの殻構造を考慮したモデルを使用する方がよいでしょう。

E _b ( A , Z )をZに関して最大​​化することで、与えられた原子量Aに対する最良の中性子-陽子比 N / Zが見つかる 。^[10]

${\displaystyle N/Z\approx 1+{\frac {a_{\text{C}}}{2a_{\text{A}}}}A^{2/3}.}$

軽い原子核の場合、この値はおよそ 1 ですが、重い原子核の場合、この比率は実験とよく一致して増加します。

上記のZの値をE _bに代入すると、原子量の関数として結合エネルギーE _b ( A )が得られます。Aに関してE _b ( A )/ Aを最大化すると、最も強く結合した、つまり最も安定した原子核が得られます。得られた値はA = 63 (銅) で、測定値のA = 62 (ニッケル) およびA = 58 (鉄)に近いです。

液滴モデルでは、原子核の核分裂障壁を計算することも可能で、核の自発的核分裂に対する安定性を決定します。当初、原子番号104 を超える元素は、半減期が非常に短いため核分裂を起こすため存在できないと推測されていましたが、^{[12]この式では、閉じた}原子核殻の安定化効果が考慮されていませんでした。殻効果を考慮した修正された式は、既知のデータと予測された安定の島(核分裂障壁と半減期が増加し、殻が閉じたときに最大に達すると予想される) を再現しますが、 Z  =  120およびN  = 184 を超える超重原子核の存在には限界がある可能性も示唆しています。^[12]

• フリードマン、R.; ヤング、H. (2004)。シアーズとゼマンスキーの大学物理学と現代物理学（第11版）。ピアソン・アディソン・ウェスレー。pp. 1633–1634。ISBN 978-0-8053-8768-1。
• Liverhant, SE (1960).原子炉物理学入門. John Wiley & Sons . pp. 58–62. LCCN  60011725.
• Choppin, G.; Liljenzin, J.-O.; Rydberg, J. (2002). 「原子核の質量と安定性」(PDF) . 放射化学と原子核化学 (第 3 版). Butterworth-Heinemann . pp. 41–57. ISBN 978-0-7506-7463-8。

• ジョージア州立大学のハイパー物理学オンラインリファレンスにある核液滴モデル。
• 中性子欠損核^160、161 W、および¹⁵⁹ Taにおける励起状態の初観測、Alex Keenan 博士論文、リバプール大学、1999 年 (HTML 版)からのパラメータ適合による液滴モデル。