幾何安定分布

幾何学的に安定

パラメータ	${\displaystyle \alpha \in (0,2]}$— 安定性パラメータ— 歪度パラメータ（歪度は未定義であることに注意）—尺度パラメータ ${\displaystyle \beta \in [-1,1]}$ ${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$ ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$—位置パラメータ
サポート	${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$、またはかつ、または かつ${\displaystyle x\in [\mu ,\infty )}$${\displaystyle \alpha <1}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle x\in (-\infty ,\mu ]}$${\displaystyle \alpha <1}$${\displaystyle \beta =-1}$
PDF	いくつかのパラメータ値を除いて解析的に表現できない
ドイツ連邦共和国	特定のパラメータ値を除いて解析的に表現できない
中央値	${\displaystyle \mu}$いつ${\displaystyle \beta =0}$
モード	${\displaystyle \mu}$いつ${\displaystyle \beta =0}$
分散	${\displaystyle 2\lambda ^{2}}$のとき、それ以外の場合は無限大${\displaystyle \alpha =2}$
歪度	${\displaystyle 0}$の場合、それ以外の場合は未定義${\displaystyle \alpha =2}$
過剰尖度	${\displaystyle 3}$の場合、それ以外の場合は未定義${\displaystyle \alpha =2}$
MGF の	未定義
CF	${\displaystyle \\left[1+\lambda^{\alpha}\vertt\vert^{\alpha}\omega-i\mut\right]^{-1}}$、 どこ${\displaystyle \omega ={\begin{cases}1-i\beta \tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}\,{\textrm {sign}}(t)&{\text{if }}\alpha \neq 1\\1+i{\tfrac {2}{\pi }}\beta \log \vert t\vert \,{\textrm {sign}}(t)&{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}}$

幾何安定分布または地理安定分布は、急尖 確率分布の一種です。幾何安定分布は、Klebanov, LB、Maniya, GM、およびMelamed, IA (1985) で導入されました。ランダムな数のランダム変数を合計するスキームにおけるZolotarevの問題と無限に分割可能な安定分布の類似物。^[1]これらの分布は、被加数の数がランダムで、被加数の分布とは独立しており、幾何分布を持つ場合の安定分布の類似物です。幾何安定分布は対称または非対称です。対称幾何安定分布は、Linnik分布とも呼ばれます。^[2]ラプラス分布と非対称ラプラス分布は、幾何安定分布の特殊なケースです。ミッタク・レフラー分布も、幾何安定分布の特殊なケースです。^[3]

幾何安定分布は金融理論に応用されている。^{[4] [5] [6] [7]}

ほとんどの幾何安定分布では、確率密度関数と累積分布関数は閉じた形を持たない。しかし、幾何安定分布は、その特性関数によって定義することができ、その形は次のようになる。^[8]

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }\omega -i\mu t]^{- 1}}$

どこ。 ${\displaystyle \omega ={\begin{cases}1-i\beta \tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right)\,\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha \neq 1\\1+i{\tfrac {2}{\pi }}\beta \log |t|\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}}$

パラメータは0より大きく2以下でなければならず、形状パラメータまたは安定性の指標であり、尾の重さを決定します。^[8]値が低いほど、尾が重くなります。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$

パラメータは、−1以上1以下でなければならない歪度パラメータである。^[8]が負の とき分布は左に歪んでおり、が正のとき分布は右に歪んでいる。がゼロのとき分布は対称であり、特性関数は次のように簡約される。^[8]${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}}$。

対称幾何安定分布は、リンニック分布とも呼ばれます。^{[9] 、、}で 完全に歪んだ幾何安定分布は、ミッタク・レフラー分布とも呼ばれます。^{[10] は}分布の歪度を決定しますが、典型的な歪度係数または3次標準化モーメントと混同しないでください。これらは、ほとんどの場合、幾何安定分布では定義されません。 ${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \alpha <1}$${\displaystyle 0<\mu <1}$${\displaystyle \beta}$

パラメータはスケールパラメータと呼ばれ、位置パラメータである。^[8]${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle \mu}$

= 2、= 0、= 0（すなわち、=2の対称幾何安定分布またはリンニク分布）のとき、分布は平均0の対称ラプラス分布となり、 ^[9]その確率密度関数は次のようになります。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!}$。

ラプラス分布の分散は に等しくなります。ただし、幾何安定分布の分散は無限大です。 ${\displaystyle 2\lambda ^{2}}$${\displaystyle \alpha <2}$

安定分布には、がそのような分布から取られた独立した同一分布のランダム変数である場合、いくつかのおよびに対して、その合計がのと同じ分布になるという特性があります。 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$${\displaystyle Y=a_{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})+b_{n}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$

幾何安定分布は同様の特性を持っていますが、和の要素の数は幾何分布のランダム変数です。 が幾何安定分布から取られた独立した同一分布のランダム変数である場合、和の極限はいくつかの係数の の分布に近づき、p が 0 に近づくにつれて、 はパラメータ p を持つ幾何分布から取られたとは独立したランダム変数です。^[5]言い換えると、 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$${\displaystyle Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle a_{N_{p}}}$${\displaystyle b_{N_{p}}}$${\displaystyle N_{p}}$${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \Pr(N_{p}=n)=(1-p)^{n-1}\,p\,.}$

分布は、ある aに対しての分布の合計が等しい場合にのみ厳密に幾何安定である。^[4]${\displaystyle Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})}$${\displaystyle X_{i}}$

安定分布特性関数と幾何安定分布特性関数の間にも関係があります。安定分布の特性関数は次の形式になります。

${\displaystyle \Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=\exp \left[~it\mu \!-\!|\lambda t|^{\alpha }\,(1\!-\!i\beta \operatorname {sign} (t)\Omega )~\right],}$

どこ

${\displaystyle \Omega ={\begin{cases}\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}&{\text{if }}\alpha \neq 1,\\-{\tfrac {2}{\pi }}\log |t|&{\text{if }}\alpha =1.\end{cases}}}$

幾何学的安定特性関数は、安定特性関数を用いて次のように表現できる。^[11]

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1-\log(\Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu ))]^{-1 }.}$

• ミッタク・レフラー分布