周期的なシーケンス

数学において、周期的列（サイクルまたは軌道と呼ばれることもある）とは、同じ項が何度も繰り返される 列のことである。

a ₁、a ₂、...、a _p、   a ₁、a ₂、...、a _p、   a ₁、a ₂、...、a _p、...

繰り返される項の数pは周期（period）と呼ばれる。^[1]

（純粋に）周期的な数列（周期p）、またはp周期的な数列は、次の式を満たす数列a ₁、a ₂、a ₃、 ... である。

αn _{+ βn} = αn_​​

全てのnの値に対して成り立つ。^{[1] [2] [3]}数列をその定義域が自然数の集合である関数とみなすと、周期数列は単に周期関数の特別なタイプとなる。^[要出典]周期数列がp周期となる最小のpは最小周期^[1]または正確な周期と呼ばれる。

すべての定数関数は 1 周期です。

このシーケンスは最小周期が 2 の周期的なシーケンスです。 ${\displaystyle 1,2,1,2,1,2\dots }$

1/7 の10 進展開における数字の順序は周期 6 で周期的です。

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0.142857\,142857\,142857\,\ldots }$

より一般的には、任意の有理数の10進展開における数字の順序は最終的には周期的になる（下記参照）。^[4]

−1 の累乗の列は周期 2 で周期的である。

${\displaystyle -1,1,-1,1,-1,1,\ldots }$

より一般的には、任意の 1 の根の累乗の列は周期的です。同じことは、グループ内の有限位数の任意の元の累乗にも当てはまります。

関数f  : X → Xの周期点とは、その軌道が

${\displaystyle x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots }$

は周期的なシーケンスです。ここで、はxに適用されたfのn倍の合成を意味します。周期点は、力学系の理論で重要です。有限集合からそれ自身へのすべての関数には周期点があります。サイクル検出は、そのような点を見つけるアルゴリズムの問​​題です。 ${\displaystyle f^{n}(x)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k*\sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^ {男}}$ここで、k と m<p は自然数です。

${\displaystyle \prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod _{n=1}^{p}a_{n}})^{k}*\prod _{n=1}^{m}a_{n}}$ここで、k と m<p は自然数です。

任意の周期的シーケンスは、0 と 1 で構成される周期的シーケンスの要素ごとの加算、減算、乗算、除算によって構築できます。周期的な 0 と 1 のシーケンスは、三角関数の和として表すことができます。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{0}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{1}}\right)/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{1}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{2}}\right)/2=1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{2}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{3}}\right)/3=1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,\cdots }$

${\displaystyle \cdots}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{N}}\right)/N=1,0,0,0,\cdots ,1,\cdots \quad {\text{周期Nのシーケンス}$

これらの等式を証明する標準的な方法の 1 つは、対応する1 の根にド・モアブルの公式を適用することです。このような数列は、数論の研究において基礎となります。

ある数列が、最初から有限個の項を削除することで周期的にできる場合、 その数列は最終的に周期的、あるいは究極的に周期的である^[1] 。同様に、最後の条件は、あるrと十分に大きいkに対して次のように述べることができる。例えば、1/56 の 10 進展開における数字の列は、最終的に周期的である。 ${\displaystyle a_{k+r}=a_{k}}$

1 / 56 = 0 。 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 ...

ある数列の項が周期数列の項に近づくとき、その数列は漸近的に周期的である。つまり、数列x ₁、  x ₂、  x _{3 、 ... が漸近的に周期的であるのは、周期数列}a ₁、  a ₂、  a ₃、 ... が存在するときである。

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.}$^[3]

例えば、

1 / 3、2 / 3、1 / 4、3 / 4、1 / 5、4 / 5、...

は漸近的に周期的であり、その項は周期列 0、1、0、1、0、1、... の項に近づく。