レート関数

数学、特に大偏差理論において、速度関数はまれな事象の確率を定量化するために使用される関数です。このような関数は、大偏差原理を定式化するために使用されます。大偏差原理は、一連の確率についてまれな事象の漸近確率を定量化します。

レート関数は、スウェーデンの確率学者Harald CramérにちなんでCramér 関数とも呼ばれます。

レート関数ハウスドルフ位相空間上で定義された拡張実数値関数は、同一ではなく、下半連続、すなわちすべてのサブレベル集合が レート関数であると言われる。${\displaystyle I:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle +\infty}$

${\displaystyle \{x\in X\mid I(x)\leq c\}{\mbox{ }}c\geq 0 の場合}$

は で閉じています。さらに、 がコンパクトである場合、 は良い速度関数であると言えます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$

上の確率測度 の族は、任意の閉集合および任意の開集合に対して、 ${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I:X\to [0,+\infty )}$${\displaystyle 1/\delta }$${\displaystyle F\subseteq X}$ ${\displaystyle G\subseteq X}$

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(F)\leq -\inf _{x\in F}I(x),\quad {\mbox{(U)}}}$

${\displaystyle \liminf _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(G)\geq -\inf _{x\in G}I(x).\quad {\mbox{(L)}}}$

上限 (U) がコンパクトな（閉じた）集合 に対してのみ成り立つ場合、 は弱い大偏差原理（速度と弱い速度関数を使用）を満たすと言われます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$${\displaystyle 1/\delta }$${\displaystyle I}$

大偏差原理における開集合と閉集合の役割は、確率測度の弱収束におけるそれらの役割に似ている。任意の閉集合と任意の開集合に対して、が弱収束すると言われることを思い出してほしい。 ${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle F\subseteq X}$ ${\displaystyle G\subseteq X}$

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(F)\leq \mu (F),}$

${\displaystyle \liminf _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(G)\geq \mu (G).}$

文献で使用されている命名法には多少のばらつきがあります。たとえば、den Hollander (2000) では単に「レート関数」を使用していますが、この論文では、Dembo & Zeitouni (1998) に従って「良いレート関数」と「弱いレート関数」を使用しています。Rassoul-Agha & Seppäläinen (2015) は、一連の尺度の指数的タイト性との関連から、「良いレート関数」ではなく「タイトなレート関数」という用語を使用しています。レート関数に使用される命名法に関係なく、上限不等式 (U) が閉じた集合またはコンパクトな集合のどちらに当てはまるかを調べると、使用されている大偏差原理が強いか弱いかがわかります。

上記の一般的な枠組みのやや抽象的な設定を考えると、当然の疑問は、速度関数が一意であるかどうかです。これは、その通りであることがわかります。つまり、 2つの速度関数IとJに対して大偏差原理を満たす、 X上の確率測度のシーケンス ( μ _δ ) _{δ >0}が与えられると、すべてのx  ∈  Xに対してI ( x ) =  J ( x ) が成り立ちます。

測度が十分に速く収束する場合、弱い大偏差原理を強い大偏差原理に変換することは可能です。コンパクト集合Fに対して上限が成り立ち、測度のシーケンス ( μ _δ ) _{δ >0が}指数的にタイトである場合、上限は閉じた集合Fに対しても成り立ちます。言い換えると、指数的なタイトさにより、弱い大偏差原理を強い大偏差原理に変換できます。

素朴に 言えば、2つの不等式(U)と(L)を、すべてのボレル集合 S⊆X に対して、

${\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(S)=-\inf _{x\in S}I(x).\quad {\mbox{(E)}}}$

等式 (E) はあまりにも制限的である。なぜなら、多くの興味深い例が (U) と (L) を満たしているが、 (E) を満たしていないからである。例えば、測度μ _δはすべてのδに対して非原子的である可能性があるので、等式 (E) はI が恒等的に +∞ である場合にのみS  = { x } に対して成立する可能性があるが、これは定義では許されていない。しかし、不等式 (U) と (L) は、いわゆるI連続集合S  ⊆  Xに対して等式 (E) を意味する。

${\displaystyle I{\big (}{\stackrel {\circ }{S}}{\big )}=I{\big (}{\bar {S}}{\big )},}$

ここで、と はそれぞれXにおけるSの内部と閉包を表します。多くの例では、多くの興味深い集合/イベントはI連続です。たとえば、I が連続関数である場合、すべての集合Sは ${\displaystyle {\stackrel {\circ}{S}}}$${\displaystyle {\bar {S}}}$

${\displaystyle S\subseteq {\bar {\stackrel {\circ}{S}}}}$

はI連続です。たとえば、すべての開集合はこの包含関係を満たします。

ある空間での大偏差原理が与えられた場合、別の空間での大偏差原理を構築できることは興味深いことです。この分野ではいくつかの結果があります。

• 収縮原理は、ある空間上の大偏差原理が連続関数を介して別の空間上の大偏差原理に（確率測度の押し出しを介して）どのように「押し出される」かを示します。
• ドーソン・ガートナーの定理は、空間の列上の大偏差原理の列がどのようにして射影極限に到達するかを示しています。
• 傾斜した大偏差原理は指数関数の積分に対して大偏差原理を与える。
• 指数的に同等な尺度には、同じ大偏差原理が適用されます。

速度関数の概念は、1930年代にスウェーデンの数学者ハラルド・クラメールによるiidランダム変数 ( Z _i ) _{i∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}の列の研究で生まれました。つまり、スケーリングのいくつかの考慮事項の中で、クラメールはn →∞としての平均の分布の挙動を研究しました。 ^[1]彼は、 X _n の分布の裾がe ^{− nλ ( x )}として指数的に減少することを発見しました。ここで、指数の因子λ ( x ) は、キュムラント生成関数のルジャンドル–フェンシェル変換 (別名、凸共役)です。 このため、この特定の関数λ ( x ) は、クラメール関数と呼ばれることがあります。この記事で上で定義した速度関数は、クラメールのこの概念を広く一般化したものであり、ランダム変数の状態空間ではなく、確率空間上でより抽象的に定義されています。 ${\textstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$${\displaystyle \Psi _{Z}(t)=\log \operatorname {E} e^{tZ}.}$

• 極値理論
• 中程度の逸脱の原則

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998)。大偏差の手法と応用。Applications of Mathematics (New York) 38 (第2版)。ニューヨーク: Springer-Verlag。xvi+ 396。ISBN 0-387-98406-2。 MR1619036​
• デン・ホランダー、フランク（2000）。大偏差。フィールズ研究所モノグラフ14。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。p. x+ 143。ISBN 0-8218-1989-5。 MR1739680​
• ラソウル・アガ、フィラス;セッパライネン、ティモ (2015)。ギブス測度の概要を含む、大きな偏差に関するコース。数学の大学院研究 162. ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学協会。 xiv+318。ISBN 978-0-8218-7578-0。 MR3309619​