指数的に同等な尺度

数学において、測度の指数同値性は、大偏差理論の観点から、確率測度の 2 つのシーケンスまたはファミリが「同じ」であることを意味します。

を計量空間とし、上の確率測度の2つの1パラメータ族、と を考える。これら2つの族は、 が存在する場合、 指数的に同値であると言われる。${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$${\displaystyle (\nu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$

• 1パラメータの確率空間族、${\displaystyle (\Omega ,\Sigma _{\varepsilon },P_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$
• 2つの-値確率変数族と、${\displaystyle M}$${\displaystyle (Y_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$${\displaystyle (Z_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$

そのような

• 各 に対して、 の-法則（すなわち、押し進める測度）はであり、の -法則はである。${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle P_{\varepsilon }}$${\displaystyle Y_{\varepsilon}}$${\displaystyle \mu _{\varepsilon }}$${\displaystyle P_{\varepsilon }}$${\displaystyle Z_{\varepsilon }}$${\displaystyle \nu _{\varepsilon }}$
• それぞれについて、「とが より離れている」は測定可能なイベント、すなわち${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle Y_{\varepsilon}}$${\displaystyle Z_{\varepsilon }}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \Sigma _{\varepsilon }}$

${\displaystyle {\big \{}\omega \in \Omega {\big |}d(Y_{\varepsilon }(\omega ),Z_{\varepsilon }(\omega ))>\delta {\big \}}\in \Sigma _{\varepsilon },}$

• それぞれについて、${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \downarrow 0}\,\varepsilon \log P_{\varepsilon }{\big (}d(Y_{\varepsilon },Z_{\varepsilon })>\delta {\big )}=-\infty .}$

2 つの確率変数族とはまた、指数的に同等であるとも言われます。 ${\displaystyle (Y_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$${\displaystyle (Z_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$

指数同値性の主な用途は、大偏差原理に関する限り、指数同値な測度の族は区別できないという点です。より正確には、良好な速度関数で大偏差原理が成り立ち、 とが指数同値である場合、同じ良好な速度関数 で同じ大偏差原理が成り立ちます。 ${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$${\displaystyle (\nu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$${\displaystyle (\nu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$${\displaystyle I}$

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998)。大偏差の手法と応用。数学の応用 (ニューヨーク) 38 (第 2 版)。ニューヨーク: Springer-Verlag。pp. xvi+ 396。ISBN 0-387-98406-2. MR  1619036。（セクション4.2.2を参照）