ランベルト正角円錐図法

ランベルト正角円錐図法（LCC）は、航空図、国家平面座標系の一部、および多くの国や地域の地図作成システムに使用される円錐図法です。これは、ヨハン・ハインリヒ・ランベルトが1772年に出版した著書『地上図と天体図の構成に関する注記とコメント』[ ^1]で紹介された7つの図法のうちの1つです。

概念的には、この投影法は地球の表面を円錐に正角に写像します。円錐は展開され、球体に接していた緯線に単位縮尺が割り当てられます。この緯線は標準緯線と呼ばれます。

得られた地図を拡大縮小することで、2 本の緯線に単位縮尺を割り当てることができます。2 本の緯線の間では縮尺が小さくなり、外側では縮尺が大きくなります。これにより、地図には 2 本の標準緯線が与えられます。このようにして、2 本の標準緯線の間にある関心領域内で単位縮尺からの偏差を最小限に抑えることができます。他の円錐図法とは異なり、この図法には真の正割形は存在しません。これは、正割円錐を使用しても両方の標準緯線に沿って同じ縮尺が得られないためです。^[2]

パイロットはLCCに基づいた航空図を使用する。これは、ランバート正角円錐図法で描かれた直線が、一般的な飛行距離の終点間の大圏ルートを近似するためである。米国のVFR（有視界飛行方式）セクションチャートとターミナルエリアチャートは、北緯33度と北緯45度を標準緯線とするLCCに基づいて作成される。^[3]

欧州環境機関^[4]と座標系に関するINSPIRE仕様^[5]では、縮尺1:500,000以下の等角汎ヨーロッパ地図作成にこの投影法（ETRS89-LCCとも呼ばれる）の使用を推奨している。フランス本土では、公式投影法はLambert-93 ^{[6]であり、これはRGF93測地系[7]}を使用したLambert円錐投影法で、44°Nと49°Nの基準緯線で定義されている。

インドの国家空間フレームワークは、LCC投影法を用いたWGS84データムを使用しており、推奨されるNNRMS標準です。各州には、標準で指定された独自の参照パラメータセットがあります。^[8]

米国国立測地測量局の「1983 年州平面座標系」では、ランバート正角円錐図法を使用して、主にテネシー州などの東西に長い州で使用されるグリッド座標系を定義しています。ランバート図法は比較的簡単に使用できます。測地座標(緯度/経度) から州平面グリッド座標への変換には、かなり簡単な三角方程式が含まれ、ほとんどの科学計算用計算機、特にプログラム可能なモデルで解くことができます。^[9] CCS83 で使用されている投影法では、縮尺誤差が 10,000 分の 1 に制限された地図が作成されます。

ランベルト正角円錐図法は、18世紀のスイスの数学者、物理学者、哲学者、天文学者であるヨハン・ハインリヒ・ランベルトによって開発された地図投影法の1つです。 ^[1]

球面座標系からの座標は、次の式でランベルト正角円錐投影座標系に変換できる。^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \sin \left[n\left(\lambda -\lambda _{0}\right)\right]\\y&=\rho _{0}-\rho \cos \left[n\left(\lambda -\lambda _{0}\right)\right]\end{aligned}}}$

どこ：

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\text{ランバート x 座標}}\\y&={\text{ランバート y 座標}}\\\lambda &={\text{経度}}\\\phi &={\text{緯度}}\\\lambda _{0}&={\text{中央子午線}}\\\phi _{0}&={\text{中央子午線上で y 座標が 0 になる緯度}}\\\phi _{1}&={\text{第 1 標準緯線}}\\\phi _{2}&={\text{第 2 標準緯線}}\\R&={\text{地球の半径}}\end{aligned}}}$

そして：

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\frac {\ln \left(\cos \phi _{1}\sec \phi _{2}\right)}{\ln \left[\tan \left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}\phi _{2}\right)\cot \left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}\phi _{1}\right)\right]}}\\\rho &=RF\cot ^{n}\left({\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\phi \right)\\\rho _{0}&=RF\cot ^{n}\left({\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\phi _{0}\right)\\F&={\frac {\cos \phi _{1}\tan ^{n}\left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}\phi _{1}\right)}{n}}\end{aligned}}}$

1本の標準緯線が使用される場合（すなわち）、上記のnの式は不定であるが、その場合は となる。^[11]${\displaystyle \phi _{1}=\phi _{2}}$${\displaystyle n=\sin(\phi _{1})}$

楕円体基準系の公式はより複雑である。^[11]

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ウィキメディア・コモンズには、ランベルト正角円錐図法に関連するメディアがあります。

• radicalcartography.net からのすべての一般的な投影法の例と特性の表
• ランベルト正角円錐図法の計量変形を調べるためのインタラクティブな Java アプレット
• この米国国立測地測量局の文書は、1983 年の州平面座標系について説明しており、CCS83 のランベルト正角円錐図法とメルカトル図法を実行するために使用された方程式の詳細も含まれています。
• ランベルト正角円錐から地理座標への変換公式（Land Information New Zealand より）