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数学において、ローラン・ラフォルグによるラフォルグの定理は、これらの群上の保型形式とガロア群の表現との間の対応を与えることによって、代数関数体上の一般線型群のラングランズ計画を完成させる。
ラングランズ予想はラングランズ (1967、1970) によって導入され、代数関数体のヴェイユ群の表現と関数体上の代数群の表現との間の対応を記述し、アーベルガロア群から非アーベルガロア群まで関数体の類体 理論を一般化します。
GL のラングランズ予想1
GL 1 ( K )に対するラングランズ予想は類体理論から導かれ、本質的には類体理論と同等である 。より正確には、アルティン写像はイデレ類群からヴェイユ群のアーベル化への写像を与える。
GLの保型表現ん（ふ）
ラングランズ対応に現れるGLn(F)の表現は保型 表現である。
GL のラフォルグの定理ん（ふ）
ここで、F は何らかの正の特性p を持つグローバル体であり、 ℓ はpと等しくない何らかの素数です。
ラフォルグの定理は、次の間に一対一の関係 σ が存在することを述べています。
- GL n ( F )の尖点表現πの同値類、および
- Fの絶対ガロア群のn次元の既約ℓ進表現σ(π)の同値類
Fのあらゆる場所でL関数を保存します。
ラフォルグの定理の証明には、各尖端表現 π に対する絶対ガロア群の表現 σ(π) を構成することが含まれる。これを行うアイデアは、すべてのNに対して互換性のあるレベルN構造を持つランクnのシュトゥカのモジュライスタックのℓ 進コホモロジーを調べることである。コホモロジーには、次の形式の部分商が含まれる。
- π⊗σ(π)⊗σ(π) ∨
これはπからσ(π)を構築するために使用できます。大きな問題は、モジュライスタックが有限型ではないことです。つまり、そのコホモロジーを研究するには、非常に困難な技術的困難が伴います。
アプリケーション
ラフォルグの定理は、GL n ( F )の保型形式が有限位数の中心特性を持つ場合、すべての非分岐位における対応するヘッケ固有値の絶対値は 1 になるというラマヌジャン-ピーターソン予想を意味します。
ラフォルグの定理は、有限位数の行列式特性を持つ絶対ガロア群の 既約有限次元l進表現は重みが 0 の純粋であるという Deligne (1980, 1.2.10) の予想を示唆している。
参照
参考文献
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- Deligne、Pierre (1980)、「La conjecture de Weil. II」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、52 (52): 137–252、doi :10.1007/BF02684780、ISSN 1618-1913、MR 0601520、S2CID 189769469
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- Lafforgue, Laurent (2002)、「Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correspondance de Langlands.」(ドリンフェルドのシュトゥカ、アーサー・セルバーグのトレース公式とラングランズ対応) Proceedings of the International Congress of Mathematicians、第 1 巻 (北京、2002 年)、383–400 ページ、Higher Ed. Press、北京、2002 年。
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