クリロフ・ボゴリュボフの定理

数学において、クリロフ・ボゴリュボフの定理（不変測度の存在定理とも呼ばれる）は、力学系理論における2つの関連する基本定理のいずれかを指す場合がある。この定理は、「良い」空間上に定義された特定の「良い」写像に対する不変測度の存在を保証するものであり、定理を証明したロシア系ウクライナ人の数学者および理論物理学者であるニコライ・クリロフとニコライ・ボゴリュボフにちなんで名付けられた。^[1]

定理（クリロフ・ボゴリュボフ）。Xをコンパクトで距離化可能な 位相空間とし、F  :  X  →  Xを連続写像とする。このとき、F は不変ボレル 確率測度を許容する。

つまり、Borel( X )がXの開集合Tの集合によって生成されるボレル σ代数を表す場合、任意の部分集合A∈Borel ( X ) に対して、次の式を満たす確率測度μ  :Borel( X )→[0,1]が存在する。

${\displaystyle \mu \left(F^{-1}(A)\right)=\mu (A).}$

前進の点では、これは次のように述べています。

${\displaystyle F_{*}(\mu )=\mu .}$

X をポーランド空間とし、 をX上の時間同次マルコフ半群の遷移確率とする。すなわち、 ${\displaystyle P_{t},t\geq 0,}$

${\displaystyle \Pr[X_{t}\in A|X_{0}=x]=P_{t}(x,A).}$

定理（クリロフ・ボゴリュボフ）。確率測度の族{  P _t ( x , ·) |  t  > 0 }が一様タイトで半群（P _t ）がフェラー特性を満たす点が存在する場合、（ P _t ）に対して少なくとも1つの不変測度、つまり X上の確率測度μが存在し、${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle (P_{t})_{\ast }(\mu )=\mu {\mbox{ すべての }}t>0 に対して。}$

• 第 1 定理については、Ya. G. Sinai (編) (1997): Dynamical Systems II. Ergodic Theory with Applications to Dynamical Systems and Statistical Mechanics . Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN  3-540-17001-4 . (セクション 1) を参照してください。
• 第 2 の定理については、G. Da Pratoおよび J. Zabczyk (1996): Ergodicity for Infinite Dimensional Systems。Cambridge Univ. Press。ISBN 0-521-57900-7 。 (セクション 3)。 

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