サイトスワップ

サイトスワップは、量子ジャグリングやケンブリッジ記法とも呼ばれ、ジャグリングのパターンを記述または表現するために使用される数値ジャグリング記法です。この用語は、サイトスワップ パターン、つまりサイトスワップを使用して転写された可能性のあるパターンを説明するためにも使用できます。スローは、オブジェクトが再びスローされる将来のビート数を指定する負でない整数で表されます。「サイトスワップの背後にあるアイデアは、ボールがスローされてキャッチされる順序だけを追跡することです。」 ^[3]これは、特定の数のオブジェクトに対して有効なジャグリング パターンを生み出すスローの組み合わせを決定するための非常に貴重なツールであり、これまで知られていなかったパターン (441 など) につながっています。ただし、背中の後ろや脚の下などの体の動きは説明できません。サイトスワップでは、「スローは時間的に等間隔のビートで発生する」と想定されています。 ^[4]

例えば、3つのボールのカスケードは「3」と表記され、シャワーは「5 1」と表記されることがあります。^[4]

この表記法は、1981年にカリフォルニア州サンタクルーズのポール・クリメックによって考案され、その後、カリフォルニア工科大学の学部生ブルース・「ボッポ」・ティーマン、ジョエル・デイビッド・ハムキンス、故ベンクト・マグヌッソンによって1985年に開発され、さらに1985年にはイギリスのケンブリッジでマイク・デイ、数学者コリン・ライト、数学者アダム・チャルクラフトによって開発されました（別名の由来）。^{[5] [a]}ハムキンスは1985年にサイトスワップパターンを体系的に生成するコンピュータコードを書きました。そのプリントアウトはすぐにカリフォルニア工科大学のアテナエウム芝生に持ち込まれ、ハムキンス、ティーマン、マグヌッソンによって試されました。数字は、最も一般的なジャグリングパターンで使用されるボールの数に由来しています。サイトスワップは、「おそらく最も人気のある」名前と評されています。^[8]

サイトスワップという名前は、スワッププロパティを使用してサイトスワップ内の任意の2つの「サイト」の着地時間を「交換」することでパターンを生成できることに由来しています。^[9]たとえば、サイトスワップ「51」でスロー「5」と「1」の着地時間を交換すると、サイトスワップ「24」が生成されます。

最も単純な形式は、バニラ サイトスワップと呼ばれることもあり、交互に手を投げ、一度に 1 つのボールを各手から投げるパターンのみを表します。前方に歩きながらジャグリングをすると、上から見た図のようなものが見られます。これは、空間時間図またはラダー図と呼ばれることもあります。この図では、3 つのボールがジャグリングされています。時間は上から下に向かって進みます。

このパターンは、各ボールが何回投げられた後にキャッチされるかを述べることによって説明できます。たとえば、図の最初の投げでは、紫色のボールが右手で空中 (画面の上方、左下に向かって) に投げられ、次に青色のボール、緑色のボール、再び緑色のボール、再び青色のボールが投げられ、最後に 5 回目の投げで紫色のボールが左手でキャッチされて投げられます。これにより、最初の投げのカウントは5になります。これにより、各投げの高さを示す一連の数字が生成されます。手は交互に投げられるため、奇数回目の投げではボールはもう一方の手に送られ、偶数回目の投げではボールは同じ手に送られます。3 は、基本的な 3 つのカスケードの高さで反対側の手に投げられることを表します。4は、 4つの噴水の高さで同じ手に投げられることを表します。

特別な投げ方は 3 つあります。0 は空の手で一時停止、1は反対の手にまっすぐ素早くパス、2は物体を瞬間的に保持します。9 ビートより長い投げには、で始まる文字が与えられます。ボールが空中にあるビートの数は、通常、投げられた高さに対応するため、多くの人が数字を高さと呼びますが、これは技術的には正しくありません。重要なのは、ボールが投げられた高さではなく、空中にあるビートの数です。たとえば、ボールをバウンドさせるには、同じ高さまで空中で投げるよりも時間がかかるため、投げる高さが低くても、サイトスワップ値が高くなる可能性があります。

各パターンは、パターンの周期と呼ばれる、特定の回数投げた後に繰り返されます。周期とは、パターンの最短の非繰り返し表現の桁数です。たとえば、右の図のパターンは 53145305520 で、桁数が 11 なので周期は 11 です。周期が奇数の場合 (このパターンのように)、シーケンスが繰り返されるたびにシーケンスはもう一方の手から開始され、各手が同じこと (ただし異なる時間) を行うため、パターンは対称的になります。周期が偶数の場合、パターンが繰り返されるたびに、各手は前回と同じことを行うため、パターンは非対称になります。

パターンに使用されるボールの数は、パターン内の投球数の平均です。^[2]たとえば、441 は(4+4+1)/3 が 3 なので 3 つのオブジェクトのパターンであり、86は 7 つのオブジェクトのパターンです。したがって、すべてのパターンには、平均すると整数になるサイトスワップ シーケンスが必要です。このようなシーケンスのすべてがパターンを表すわけではありません。たとえば、543 は整数の平均が 4 ですが、3 回の投球がすべて同時に着地し、衝突します。

サイトスワップは最も大きい数字から先に書くという慣習に固執する人もいます。その方法の欠点の 1 つは、パターン51414に明らかです。これは 3 ボール パターンで、3 投のストリングの途中に挿入することはできません。ただし、そのローテーション45141は挿入できます。

サイトスワップ表記を拡張して、両手からの同期投球を含むパターンを表すことができます。2 つの投球の数字は括弧で結合され、コンマで区切られます。同期投球は偶数拍子でのみ投球されるため、偶数のみが許可されます。^[10]もう一方の手に移動する投球は、数字の後にxを付けてマークします。したがって、同期した 3 プロップシャワーは(4x,2x)と表されます。これは、一方の手が反対の手に継続的に低い投球または「ジップ」を投げ、もう一方の手が最初の手に継続的に高い投球をすることを意味します。括弧で囲まれたペアのシーケンスは、区切りマーカーなしで記述されます。反対側で鏡像で繰り返されるパターンは、* を使用して省略できます。たとえば、(4,2x)(2x,4) (3 ボールボックスパターン) の代わりに、 (4,2x)*と省略できます。

さらに拡張すると、siteswap は、片手または両手から同時に複数回投げるパターンを多重パターンで表記できます。片手からの複数回の投げの数字は、角括弧内に一緒に書きます。たとえば、[33]33 は通常の 3 ボール カスケードで、常に 2 つのボールが一緒に投げられます。

同時ジャグリング: <xxx|yyy>表記は、1 人のジャグラーが 'xxx' を行い、もう 1 人が 'yyy' を行うことを意味します。'p' はパス スローを表すために使用されます。たとえば、<3p 3|3p 3> は6 つの小道具の '2 カウント' パス パターンで、左手スローはすべてパス、右手スローはすべてセルフです。これは同期パターンでも使用できます。2 人の 'シャワー' は<(4xp,2x)|(4xp,2x)>になります。

パターンに分数が含まれている場合、たとえば<4.5 3 3 | 3 4 3.5>の場合、バーの後のジャグラーは半カウント後になるはずであり、すべての分数はパスになります。

ソーシャルサイトスワップ

両者が同じパターンをジャグリングする場合 (ただし時間はずれている)、そのパターンはソーシャル サイトスワップと呼ばれ、パターンの半分だけを記述すれば済みます。<4p 3| 3 4p>は4p 3に、<4.5 3 3| 3 4.5 3>は4.5 3 3になります(後者の場合、4.5 は一方のジャグラーからのストレート パス、もう一方のジャグラーからのクロス パス (つまり、左手から左手、または右手から右手) になることに注意してください。ソーシャル サイトスワップは、2 人以上のジャグラーに対しても作成できます (例: 4p 3 3 または 3 人のジャグラーの場合は 3.7 3。ここで、3.7 は 3.66666.... または 3 2 ⁄ 3を意味します。この場合、各ジャグラーは前のジャグラーの1 ⁄ 3カウント後に開始します)。

ジャグラーの中には、複数の手によるパターンを記すために分数を使用する人もいることに注意してください。

マルチハンド表記は、1992年にエド・カーステンスが自身のジャグリングプログラム JugglePro で使用するために開発しました。^[7]サイトスワップ表記の最も単純な形式 (「バニラ サイトスワップ」) では、一度に投げられるボールは 1 つだけであると想定しています。したがって、2 つのハンドで有効なサイトスワップは、ハンドが順番に投げられるという条件で、任意の数のハンドでも有効です。一般的に使用されるマルチハンド サイトスワップは、1 ハンド (ディアボロ) サイトスワップと4 ハンド (パス) サイトスワップです。

片手（ディアボロ）

サイトスワップは片手で実行されるか、ディアボロプレーヤーがディアボロを異なる高さに投げることで実行されます。

4手

有効なサイトスワップは、4 ハンド ジャグラーによってジャグリングできます。または、交互に手を投げるという条件で、4 つのハンドを調整する 2 人のジャグラーによってジャグリングできます。

実際には、ジャグラーたちが順番に投げると、これが最も簡単に実現されます。1 つのシーケンスは、(ジャグラー A の右手、ジャグラー B の右手、A の左手、B の左手) です。

混乱した表記

ジャグラーの中には、4 ハンド サイトスワップを記録するときに、サイトスワップの値をジャグラーの数で割ります。これにより、ソーシャル サイトスワップの表記法に似た分数表記法になりますが、表記の順序は異なる場合があります。

ボール（またはクラブやその他のジャグリング用具）を投げた直後、すべてのボールは空中にあり、重力の影響を受けています。ボールが一定の高さでキャッチされると仮定すると、ボールが着地するタイミングはすでに決まっています。ボールが着地する各時点をxでマークし、着地する予定のボールがまだない各時点を-でマークすることができます。これは現在の状態を表し、次にどの番号のボールを投げることができるかを決定します。たとえば、図で最初の投げの直後の状態を見ると、xx--x です。この状態を使用して、次に何を投げることができるかを決定できます。まず、左側からx を取り除き（次に着地するボール）、その他すべてを左にシフトして、右側に-を埋めます。これで、x--x- が残ります。ボールをキャッチしたので（x を左側から取り除いたため）、次に 0 を「投げる」ことはできません。また、すでにそこに着地する予定のボールがあるため、1 や 4 を投げることもできません。したがって、ボールを正確に投げられる最高高さが 5 であると仮定すると、投げられるのは 2、3、または 5 だけです。この図では、ジャグラーが 3 を投げたので、3 番目の場所に - の代わりに x が入り、新しい状態は x-xx- になります。

示されている図は、3 つのアイテムをジャグリングし、最大高さが 5 の場合に起こり得るすべての状態を示しています。各状態から矢印をたどると、対応する数字がサイトスワップを生成します。サイクルを生成するパスはどれも有効なサイトスワップを生成し、すべてのサイトスワップはこの方法で生成できます。ボールの数が増えたり、投げる高さが高くなったりすると、起こり得る状態や投げられるボールの数が増えるため、図はすぐに大きくなります。

サイトスワップ状態を表す別の方法は、ボールを x ではなく 1 で表し、ボールが着地する予定のないスポットを - ではなく 0 で表すことです。その後、状態を 2 進数 (2 進数 10011 など) で表すことができます。この形式により、マルチプレックス状態を表すことができます。つまり、数字 2 は、そのビートで 2 つのボールが着地することを表します。

サイトスワップ状態図は、右に示すように、状態遷移表として表すこともできます。サイトスワップを生成するには、開始状態行を選択します。対応するスロー列を介して行にインデックスを付けます。交差点の状態エントリは、そのスローが行われたときに遷移される状態です。新しい状態から、テーブルに再度インデックスを付けることができます。このプロセスを繰り返すと、元の状態に達したときに有効なサイトスワップが作成されます。

すべてのサイトスワップシーケンスが有効というわけではありません。^[10]すべてのバニラ、同期、およびマルチプレックスサイトスワップシーケンスは、その状態遷移が状態図グラフにサイクルを作成する場合に有効です。 ^[10]サイクルを作成しないシーケンスは無効です。たとえば、パターン531は、右に示すように状態図にマッピングできます。このシーケンスの遷移はグラフにサイクルを作成するため、このパターンは有効です。

サイトスワップの種類に基づいてシーケンスの有効性を判断する他の方法もあります。

がサイトスワップの周期であるバニラサイトスワップシーケンスは、セットの濃度（セットビルダー記法で記述）がの周期に等しいときに有効です。パターンが有効かどうかを確認するには、まず、最初の数値、2番目の数値、3番目の数値などに追加して形成された新しいシーケンスを作成します。次に、各数値と周期の係数（剰余）を計算します。この最終シーケンスで重複する数値がない場合、パターンは有効です。^[11]${\displaystyle a_{0}a_{1}a_{2}...a_{n-1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle S=\{(a_{i}+i){\bmod {n}}|0\leq i\leq n-1\}}$$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$

たとえば、パターン 531 はまたは を生成します。パターン 531 の周期は 3 なので、前の例の結果はまたは を生成します。この場合、数字はすべて一意なので 531 は有効です。別の例として、513 は最初のステップでまたは が生成され、2 番目のステップでまたは が生成され、最後のシーケンスに少なくとも 1 つの数字 (この場合は 2) の重複が含まれているため、無効なパターンです。 ${\displaystyle 5+0,3+1,1+2}$${\displaystyle 5,4,3}$${\displaystyle 5{\bmod {3}},4{\bmod {3}},3{\bmod {3}}}$${\displaystyle 2,1,0}$${\displaystyle 2,1,0}$${\displaystyle 5+0,1+1,3+2}$${\displaystyle 5,2,5}$${\displaystyle 5{\bmod {3}},2{\bmod {3}},5{\bmod {3}}}$${\displaystyle 2,2,2}$

同期サイトスワップは、次の場合に有効です。

1. 偶数のみが含まれており、
2. slide プロパティを使用して、有効なバニラ サイトスワップに変換できます。

それ以外の場合は無効です^[要出典]。

有効なバニラシーケンスを新たに生成するには、別の有効なバニラサイトスワップシーケンスから隣接する要素を交換し、右側に交換する数値に1を加え、左側に交換する数値から1を引く。^[11] swapプロパティは、有効なシーケンスを任意の値に変換し、新しい有効なシーケンスを生成する。 ${\textstyle a_{0}a_{1}a_{2}...a_{i}a_{i+1}...a_{n-1}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{0}a_{1}a_{2}...(a_{i+1}+1)(a_{i}-1)...a_{n-1}}$

たとえば、シーケンス 4413 の内側の 2 つのスローで実行される swap プロパティは、4 を右に移動して 1 を減算して 3 になり、1 を左に移動して 1 を加算して 2 になります。これにより、新しい有効なサイトスワップ パターン 4233 が生成されます。

slide プロパティを使用すると、有効な同期シーケンスを有効な非同期シーケンスに変換したり、その逆を行ったりすることができます。同期シーケンス が与えられた場合、2 つの新しいバニラ シーケンスを形成できます。および、ここでおよびslide プロパティは、スローが非同期に揃うように、片方の手のスロー時間を 1 時間単位スライドさせることからその名前が付けられています。^[10]たとえば、siteswap (8x,4x)(4,4) は slide プロパティを使用して 2 つの非同期 (バニラ) siteswap 9344 と 5744 を作成します。 ${\displaystyle (a_{0},a_{1})(a_{2},a_{3})...(a_{n-2},a_{n-1})}$${\textstyle b_{0}b_{1}...b_{n-1}}$${\displaystyle c_{0}c_{1}...c_{n-1}}$$${\displaystyle b_{i}={\begin{cases}a_{i}+1,&{\text{i が偶数で、a_{i}{\text{が手を交差する場合}}\\a_{i}-1,&{\text{i が奇数で、a_{i}{\text{が手を交差する場合}}\\a_{i},&{\text{それ以外の場合}}\end{cases}}}$$$${\displaystyle c_{i}={\begin{cases}a_{i+1}+1,&{\text{i が偶数で、a_{i}{\text{が手を交差する場合}}\\a_{i-1}-1,&{\text{i が奇数で、a_{i}{\text{が手を交差する場合}}\\a_{i+1},&{\text{i が偶数で、a_{i}{\text{が交差しない場合}}\\a_{i-1},&{\text{i が奇数で、a_{i}{\text{が交差しない場合}}\end{cases}}}$$

サイトスワップは、素数または複合のいずれかとみなすことができます。^[10]サイトスワップは、状態図で作成されたパスがどの状態も2回以上通過しない場合は素数です。素数でないサイトスワップは複合と呼ばれます。

サイトスワップが素数かどうかを判断する厳密ではないがより簡単な方法は、同じ数の小道具を使用する有効な短いパターンに分割することです。^[10]たとえば、44404413 は 4440、441、3 に分割できるため、44404413 は合成数です。別の例として、3 つの小道具を使用する 441 は素数です。1、4、41、44 は有効な 3 つの小道具パターンではないためです (1/1≠3、4/1≠3、(4+1)/2≠3、(4+4)/2≠3 など)。このプロセスが機能しない場合もあります。たとえば、153 (回転 531 でよく知られています) は 15 と 3 に分割できるように見えますが、グラフのトラバーサルでサイクルに繰り返しノードがないことを確認すると、より厳密な定義により素数であることがわかります。

経験的に、高さで制限された最長の素数サイトスワップには、主にスローとが含まれることが示されています。^[12]高さ22（ボールの最大数は3）、9ボール（高さの最大数は13）、およびその間の高度とボール数の最長素数パターンは、1999年2月にJack Boyceによってjdeepと呼ばれるプログラムを使用して列挙されました。^[13] jdeepによって生成された最長の素数サイトスワップの完全なリスト（「0」スローは「-」で表され、最大高さスローは「+」で表されます）は、こちらで確認できます。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle h}$

バニラのサイトスワップパターンは、アフィン対称群​​（型のアフィンワイル群）の特定の要素として見ることができます。 ^[14]この群の表現の 1 つは、固定されたnに対して、 すべての整数iに対してf ( i + n ) = f ( i ) + nとなるような整数上の全単射関数f の集合としてです。要素f が、すべてのiに対してf ( i ) ≥ iというさらなる条件を満たす場合、f はi番目の番号がf ( i ) − iである（無限に繰り返される）サイトスワップパターンに対応します。つまり、時刻iに投げられたボールは、時刻f ( i )に着地します。 ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$

これらのサイトスワップパターンのサブセットは、グラスマン多様体のポジトロイド層化における地層を自然にラベル付けします。^[15]

ジャグリングのパターン をシミュレートする無料のコンピュータ プログラムが多数あります。

• Juggling Lab アニメーター - Javaで書かれ、ほぼすべての siteswap 構文を解釈するオープン ソースアニメーター。
• Jongl - マルチハンド（パス）パターンを表示できる 3D アニメーター。
• JoePass! は Windows、Macintosh、Wine (Linux の場合) で動作します。
• Gunswap - Web ベースのオープン ソース 3D ジャグリング アニメーターおよびパターン ライブラリ。

サイトスワップで遊べるゲームもいくつかあります:

• Sebi Haushofer が開発した Siteswap ゲーム (Java 用)

• サイトスワップのリスト

• ポルスター、バーカード（2003）。『ジャグリングの数学』ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 0-387-95513-5. 2012年8月23日閲覧。

• 「対称的なパスパターン」、PassingDB.com。
• DSSS: Diabolo サイトスワップ シミュレーター、ArtofDiabolo.com。
• ジャグリングラボ（ダウンロード可能なアニメーター）
• ガンスワップジャグリング（オンラインアニメーター）
• TWJC サイトスワップ計算機 (便利なバニラ、マルチプレックス、同期サイトスワップ検証ツール)
• 「2 人のジャグラーのための交互に対称的なパス パターン」、Sean Gandini (ソーシャル サイトスワップ)
• Smith, HJ 「Juggler Numbers」、Wayback Machineより(2003 年 8 月 6 日アーカイブ)
• ライト、コリン (2017 年 9 月 29 日)。「Juggling by Numbers」(ビデオ)。YouTube 。ブレイディ・ハラン。2017 年10 月 4 日閲覧。