三元立方体

数学において、三元三次形式は、 3 つの変数を持つ同次 3 次多項式です。

三元三次方程式は、2 つ以上の変数で 2 より大きい次数を持つ形式のうち、不変量の環が 19 世紀に明示的に計算された数少ない例の 1 つです。

_{SL 3} ( C )のもとでの 3 元 3 次方程式の不変量の代数は、次数 4 と 6 の 2 つの不変量SとTによって生成される多項式代数であり、アロンホールド不変量と呼ばれます。不変量は、3 元 3 次方程式の係数の多項式として記述するとかなり複雑になり、(Sturmfels 1993、4.4.7、4.5.3) で明示的に与えられます。

共変量の環は次のように与えられる。(Dolgachev 2012, 3.4.3)

三元三次式の 恒等共変Uは次数が 1、位数が 3 です。

ヘッセ行列H は、次数 3、順序 3 の三元三次行列の共変量です。

曲線とそのヘッセ曲線に関して xの極座標のサーモン円錐上にある点x上で消える、次数 8、位数 6 の三元三次関数の共変G が存在する。

ブリオスキ共変J は、次数 12、順序 9 の U、G、およびHのヤコビアンです。

三元三次式の共変量の代数は、U、G、H、およびJによって不変量の環上に生成され、 Jの平方は他の生成元における多項式であるという関係があります。

（ドルガチェフ 2012、3.4.3）

2 次 3 次式の判別式のクレプシュ変換は、次数 4、クラス 6 の 3 次 3 次式の反変Fであり、3 次曲線の双対 3 次式を与えます。

三元立方体のケーリー P は、次数 3、クラス 3 の反 変量です。

三元三次多様体のクイピアンQは 、次数 5、クラス 3 の反変量です。

エルミート反変量 Π は、次数 12、クラス 9 の三元立方体の別の反変量です。

反変量環は、 F、P、Q 、および Πによって不変量環上に生成され、 Π ^{2 は}他の生成元における多項式である という関係があります。

Gordan (1869) と Cayley (1881) は随伴環を記述し、34 個の生成子を与えた。

バイナリ キュービックのヘッセ行列のクレプシュ変換は、次数 2、順序 2、クラス 2 を伴います。

単位共変量のヤコビアンと二元三次関数のヘッセ行列のクレプシュ変換は、次数3、クラス3、順序3の三元三次関数の付随物である。

• 三次四次
• バイナリ形式の不変量

• ケイリー、アーサー（1881）、「三元立方体の34の随伴数について」、アメリカ数学ジャーナル、4（1）：1–15、doi：10.2307 / 2369145、ISSN  0002-9327、JSTOR  2369145
• ドルガチェフ、イゴール V. (2012)、「古典代数幾何学：現代的な視点」（PDF）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-1-107-01765-8
• ポール・ゴーダン (1869)、「Ueber ternäre Formen dritten Grades」、数学アナレン、1 : 90–128、doi :10.1007/bf01447388、ISSN  0025-5831、S2CID  123421707
• Sturmfels、Bernd (1993)、不変理論のアルゴリズム、記号計算のテキストとモノグラフ、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、CiteSeerX  10.1.1.39.2924、doi :10.1007/978-3-211-77417-5、ISBN 978-3-211-82445-0、MR  1255980