熱帯幾何学入門

『熱帯幾何学入門』は、ダイアン・マクラガンとベルント・シュトゥルムフェルスによる熱帯幾何学に関する書籍です。2015年にアメリカ数学会から『Graduate Studies in Mathematics』第161巻として出版されました。

熱帯半環は、加算が通常の乗算​​の代わりになり、最小化が通常の加算の代わりになる実数上の代数構造です。 ^[1]この加算と最小化の2つの演算の組み合わせは、たとえば最短経路問題で自然に発生します。最短経路問題では、経路を連結すると距離が加算され、2つの平行経路のうち最短の経路が長さが最小の経路となり、いくつかの最短経路アルゴリズムは熱帯行列乗算として解釈できます。^[2]熱帯幾何学は、乗算と加算の代わりに加算と最小化を使用して多項式を定義し（区分線形関数を生成）、これらの多項式の「根」、つまり線形でなくなるブレークポイントを調べることで、このシステムに代数幾何学の仕組みを適用します。[ 1 ^{]この分野は、その先駆的な研究者の1人である}イムレ・シモンのブラジルの移住先にちなんで名付けられました。^{[2] [3]}この分野での過去の研究では列挙的組合せ論の手法を通じて研究されてきたが、この本は古典多様体の熱帯化に関連する明示的な計算を中心にしている。^{[2] [4]}この本は、この分野でのItenbergらによる以前の2冊の入門書よりもはるかに包括的であるが、^{[3]列挙幾何}学や鏡映対称性 など、熱帯幾何学のいくつかのトピックは（意図的に）省略されている。^[4]

この本は6章から成っている。第1章では主題を紹介し、いくつかの重要な結果の概要を示し、第2章では非アルキメデスの順序体、代数多様体、凸多面体、グレブナー基底の背景資料を提供する。第3章では、いくつかの異なる方法で定義された熱帯多様体、古典的な多様体とその熱帯化との対応、これらの定義が同等であることを証明する「熱帯幾何学の基本定理」、および熱帯交差理論について述べる。第4章では、グラスマン多様体への熱帯のつながり、計量木の空間での隣接結合、およびマトロイドについて研究する。第5章では、線型代数の重要な概念のいくつかの熱帯類似物を考察し、第6章では熱帯多様体をトーリック多様体および多面体幾何学に結び付ける。 ^{[1] [2] [3]}

この本は教科書として書かれており、読者の理解度をテストする問題が盛り込まれている。^{[1] [3]}評論家のパトリック・ポペスク＝パンプ氏は、大学院レベルの書籍シリーズではあるが、代数幾何学の十分な知識を持つ学部生も読むことができるはずだと主張している。^[3]評論家のフェリペ・ザルディバー氏は、この本は「このテーマを身近で楽しめるものにし」、書籍シリーズに「素晴らしい一冊」を加えていると書いている。^[1]評論家のマイケル・ジョスウィグ氏は、熱帯幾何学入門は「今後何年もこの分野の標準的な参考書になるだろう」と結論付けている。^[4]

• エリザベス・ケリー、2020年。熱帯幾何学の基本定理。可換代数に焦点を当て、マクラガンとシュトゥルムフェルスの扱いに従って定理の記述を紹介するチュートリアル。