比較機能

応用数学において、比較関数は連続関数のいくつかのクラスであり、安定性理論で、リャプノフ安定性、一様漸近安定性など の制御システムの安定性特性を特徴付けるために使用されます。

をから に作用する連続関数の空間とします。比較関数の最も重要なクラスは次のとおりです。 ${\displaystyle C(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}&:=\left\{\gamma \in C({\mathbb {R} }_{+},{\mathbb {R} }_{+}):\gamma (0)=0{\text{ かつ }}r>0 の場合 }}\gamma (r)>0{\text{\right\}\\[4pt]{\mathcal {K}}&:=\left\{\gamma \in {\mathcal {P}}:\gamma {\text{ は厳密に増加します}}\right\}\\[4pt]{\mathcal {K}}_{\infty }&:=\left\{\gamma \in {\mathcal {K}}:\gamma {\text{ は無制限です}}\right\}\\[4pt]{\mathcal {L}}&:=\{\gamma \in C({\mathbb {R} }_{+},{\mathbb {R} }_{+}):\gamma {\text{ は }}\lim _{t\rightarrow \infty }\gamma (t)=0\} で厳密に減少します\\[4pt]{\mathcal {KL}}&:=\left\{\beta \in C({\mathbb {R} }_{+}\times {\mathbb {R} }_{+},{\mathbb {R} }_{+}):\beta {\text{ は連続です、 }}\beta (\cdot ,t)\in {\mathcal {K}},\ \forall t\geq 0,\ \beta (r,\cdot )\in {\mathcal {L}},\ \forall r>0\right\}\end{aligned}}}$

クラスの関数は正定値関数とも呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

比較関数の最も重要な性質の1つは、エドゥアルド・ソンタグにちなんで名付けられたソンタグの補題^[1]によって与えられます。これは、各および任意のに対して以下が存在することを述べています。 ${\displaystyle {\mathcal {KL}}}$${\displaystyle \beta \in {\mathcal {KL}}}$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}\in {\mathcal {K_{\infty }}}}$

比較関数のその他の有用な特性については、^{[2] [3]を参照してください。}

比較関数は主に、リアプノフ安定性、均一漸近安定性などの安定性特性の定量的な再表現を取得するために使用されます。これらの再表現は、言語で与えられた安定性特性の定性的な定義よりも有用であることが多いです。 ${\displaystyle \varepsilon {\text{-}}\delta }$

例として、常微分方程式を考えてみましょう。

ここで、 は局所的に Lipschitzです。 ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathbb {R} }^{n}}$

• （２）が大域的に安定であるのは、任意の初期条件および任意のに対してが成り立つ場合のみである。${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {K_{\infty }}}}$${\displaystyle x_{0}\in {\mathbb {R} }^{n}}$${\displaystyle t\geq 0}$

• （２）が大域的に漸近安定であるためには、任意の初期条件および任意のに対してが成り立つことが必要である。${\displaystyle \beta \in {\mathcal {KL}}}$${\displaystyle x_{0}\in {\mathbb {R} }^{n}}$${\displaystyle t\geq 0}$

比較関数形式は、入力から状態への安定性理論で広く使用されています。