ユークリッド量子重力

理論物理学において、ユークリッド量子重力は量子重力の一種で、量子力学の原理に従ってウィック回転を使用して重力を記述しようとするものです。

物理学において、ジャン＝カルロ・ウィックにちなんで名付けられたウィック回転は、空間の 1 次元を時間の 1 次元と交換して、次元の記述を転置することにより、次元の力学問題の解を見つける方法です。より正確には、虚数変数を実数変数に置き換える変換によって、ミンコフスキー空間の数学的問題をユークリッド空間の関連問題に置き換えます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$

複素数が平面として表される場合、複素数を乗算することは、その数を表すベクトルを原点を中心にラジアン の角度で回転させることと同等であるため、回転と呼ばれます。${\displaystyle i}$${\displaystyle \pi /2}$

たとえば、ウィック回転は、マクロなイベントである温度拡散（浴槽内など）を分子の根本的な熱運動に関連付けるために使用できます。温度の勾配が異なる浴槽の体積をモデル化しようとする場合、この体積を微小体積に分割し、それらがどのように相互作用するかを確認する必要があります。このような微小体積は実際には水分子であることがわかっています。問題を単純化するために浴槽内のすべての分子を 1 つの分子で表すと、この固有の分子は実際の分子がたどる可能性のあるすべての経路に沿って移動する必要があります。経路積分定式化は、この固有の分子の動きを記述するために使用される概念的なツールであり、ウィック回転は経路積分の問題を分析するのに非常に便利な数学的ツールの 1 つです。

いくぶんか同じように、量子力学で記述される量子物体の運動は、それが同時に異なる位置に存在し、異なる速度を持つことができることを意味している。これは古典的な物体（例えばビリヤードの球）の運動とは明らかに異なり、この場合、正確な位置と速度を持つ単一の経路を記述できる。量子物体は単一の経路で A から B に移動するわけではなく、同時にすべての可能な経路で A から B に移動する。量子力学のファインマン経路積分定式化によれば、量子物体の経路は、すべての可能な経路の加重平均として数学的に記述される。1966 年に、明示的にゲージ不変な関数積分アルゴリズムがDeWittによって発見され、これはファインマンの新しい規則をすべての順序に拡張した。この新しいアプローチの魅力は、一般相対性理論では避けられない特異点がないことである。

一般相対性理論のもう一つの運用上の問題は、使用される数学的ツールの複雑さによる計算の難しさです。対照的に、経路積分は19世紀末から力学で使用されており、よく知られています。^[要出典]さらに、経路積分形式は古典物理学と量子物理学の両方で使用されているため、一般相対性理論と量子理論を統合するための良い出発点になる可能性があります。たとえば、量子力学のシュレーディンガー方程式と古典的な熱方程式は、ウィック回転によって関連付けられています。したがって、ウィック関係は、古典的な現象を量子現象に関連付けるのに適したツールです。ユークリッド量子重力の野望は、ウィック回転を使用して、巨視的な現象、重力、およびより微視的なものとの間の接続を見つけることです。

ユークリッド量子重力は、量子場理論として定式化された、量子重力のウィック回転バージョンを指します。この定式化で使用される多様体は、擬リーマン多様体ではなく、4次元リーマン多様体です。また、多様体はコンパクトで、連結されており 、境界がない（つまり、特異点がない）と仮定されます。通常の量子場理論の定式化に従って、真空から真空への振幅は、現在検討中の量子場である 計量テンソル上の関数積分として表されます。

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\mathbf {g} \,{\mathcal {D}}\phi \,\exp \left(\int d^{4}x{\sqrt {|\mathbf {g} |}}(R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} })\right)}$

ここで φ はすべての物質場を表します。アインシュタイン-ヒルベルト作用を参照してください。

ユークリッド量子重力は、正準量子重力で使用されているADM形式主義に関連し、さまざまな状況下でホイーラー・デウィット方程式を復元します。何らかの物質場がある場合、経路積分は次のように表されます。 ${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\mathbf {g} \,{\mathcal {D}}\phi \,\exp \left(\int d^{4}x{\sqrt {| \mathbf {g} |}}(R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} })\right)}$

ここで、 上の積分には、3次元計量、減衰関数、およびシフトベクトル上の積分が含まれます。しかし、境界では が減衰関数とシフトベクトルから独立していることを要求するため、次式を得ます 。${\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {g} }$${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{a}}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle {\frac {\delta Z}{\delta N}}=0=\int {\mathcal {D}}\mathbf {g} \,{\mathcal {D}}\phi \,\left. {\frac {\delta S}{\delta N}}\right|_{\Sigma }\exp \left(\int d^{4}x{\sqrt {|\mathbf {g} |}}(R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} })\right)}$

ここで、 は3 次元境界です。この式が消えることは関数微分が消えることを意味し、Wheeler-DeWitt 方程式が得られることに注意してください。微分同相制約についても同様のことが言えます(代わりにシフト関数に関する関数微分をとります)。 ${\displaystyle \Sigma }$

• DeWitt, Bryce S. (1967-10-25). 「重力の量子理論。II. 明白な共変理論」. Physical Review . 162 (5). アメリカ物理学会 (APS): 1195–1239. Bibcode :1967PhRv..162.1195D. doi :10.1103/PhysRev.162.1195. ISSN  0031-899X.
• Dewitt, Bryce S. ; Esposito, Giampiero (2008 年 2 月)。 「量子重力入門」。International Journal of Geometric Methods in Modern Physics。05  ( 1 ): 101–156。arXiv : 0711.2445。Bibcode : 2008IJGMM..05..101D。doi : 10.1142 / S0219887808002679。ISSN 0219-8878。S2CID 7909845  。{{cite journal}}: CS1 メンテナンス: 日付と年 (リンク)
• ファインマン、リチャード P. ; モリニゴ、フェルナンド B. ; ワグナー、ウィリアム G. (1995)。『ファインマンの重力講義』。コロラド州ボルダー: ウェストビュー。ISBN 978-0-8133-4038-8。
• ギボンズ, GW ;ホーキング, SW (1993). ギボンズ, ゲイリー W.; ホーキング, スティーブン W. (編). ユークリッド量子重力. シンガポールリバーエッジ, NJ: ワールドサイエンティフィック. doi :10.1142/1301. ISBN 978-981-02-0516-4。
• Hamber, HW (2009).量子重力: ファインマン経路積分アプローチ. ベルリン: Springer. ISBN 978-3-540-85293-3。
• ホーキング、SW （1993年5月）。「15 .量子重力への経路積分アプローチ」ユークリッド量子重力。WORLD SCIENTIFIC。pp. 29–72。doi : 10.1142 /9789814539395_0002。ISBN 978-981-02-0515-7。
• Hartle, JB ; Hawking, SW (1983-12-15). 「宇宙の波動関数」. Physical Review D . 28 (12). American Physical Society (APS): 2960–2975. Bibcode :1983PhRvD..28.2960H. doi :10.1103/PhysRevD.28.2960. ISSN  0556-2821.ユークリッド量子重力を ADM 形式主義に正式に関連付けます。
• キーファー、クラウス（2012）。量子重力。国際物理学モノグラフシリーズ（第3版）。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-958520-5。
• Mottola, Emil (1995). 「幾何学上の関数積分」. Journal of Mathematical Physics . 36 (5): 2470–2511. arXiv : hep-th/9502109 . Bibcode :1995JMP....36.2470M. doi :10.1063/1.531359. ISSN  0022-2488. S2CID  15655004.
• ヴェルトマン、マーティン JG (1993 年 3 月)。「重力の量子理論」。場の理論の方法。ノース ホランド出版会社。pp. 265–328。doi : 10.1142 /9789814412674_0007。hdl :1874 / 4837。ISBN 978-9971-83-078-6。