構造的識別性

システム同定の分野では、時間経過に伴う出力の測定によって未知のパラメータを推測できる場合、動的システムは構造的に識別可能である。この問題は応用数学の多くの分野で発生する。なぜなら、動的システム（常微分方程式で記述されるものなど）は物理プロセスをモデル化するために一般的に利用されており、これらのモデルには実験データを使用して推定される未知のパラメータが含まれるからである。^{[1] [2] [3]}

しかし、場合によっては、データが連続的でノイズがない場合でも、モデル構造によりこの推定問題に対する一意の解が得られないことがあります。潜在的な問題を回避するために、実際の実験を行う前に、事前に解の一意性を検証することをお勧めします。^[4]構造的に識別できないということは、システム識別の問題に対して複数の解があることを意味し、これらの解を区別できないということは、システムがモデルとして予測力が低​​いことを示唆しています。^[5]一方、閉ループシステムを識別不能にし、サイバーフィジカルシステムを標的とした秘密の攻撃に対する脆弱性を低減することを目的とした制御システムが提案されています。^[6]

出典^[2]

次の状態空間表現を持つ線形時間不変システムを考えます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}(t)&=-\theta _{1}x_{1},\\{\dot {x}}_{2}(t)&=\theta _{1}x_{1},\\y(t)&=\theta _{2}x_{2},\end{aligned}}}$

とで与えられる初期条件で、出力の解は ${\displaystyle x_{1}(0)=\theta _{3}}$${\displaystyle x_{2}(0)=0}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle y(t)=\theta _{2}\theta _{3}e^{-\theta _{1}t}\left(e^{\theta _{1}t}-1\right),}$

これは、パラメータおよびが構造的に識別できないことを意味します。たとえば、パラメータ は、パラメータ と同じ出力を生成します。 ${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \theta _{3}}$${\displaystyle \theta _{1}=1,\theta _{2}=1,\theta _{3}=1}$${\displaystyle \theta _{1}=1,\theta _{2}=2,\theta _{3}=0.5}$

出典^[7]

グルコース恒常性維持機構のモデルは微分方程式で与えられる^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {G}}=u(0)+u-(c+s_{\mathrm {i} }\,I)G,\\&{\dot {\beta }}=\beta \left({\frac {1.4583\cdot 10^{-5}}{1+\left({\frac {8.4}{G}}\right)^{1.7}}}-{\frac {1.7361\cdot 10^{-5}}{1+\left({\frac {G}{8.4}}\right)^{8.5}}}\right),\\&{\dot {I}}=p\,\beta \,{\frac {G^{2}}{\alpha ^{2}+G^{2}}}-\gamma \,I,\end{aligned}}}$

ここで、( c、si _、p、α、γ )はシステムのパラメータであり、状態は血漿グルコース濃度G、血漿インスリン濃度I 、およびβ細胞機能質量βである。パラメータpとsi_は構造的に識別できないことを示すことは可能である。つまり、同じ積ps _iを持つパラメータpとsiの任意の数値選択は区別できない。^[7]

構造的識別可能性はシステムの動的方程式を解析することによって評価され、出力の測定におけるノイズの可能性は考慮されません。対照的に、実用的な非識別可能性はノイズも考慮に入れます。^{[1] [9]}

構造的に識別可能という概念は、システム出力の軌跡を測定することでシステムの状態を推測する能力を指す観測可能性と密接に関連しています。また、未知のパラメータの推測を可能にする入力の適切な選択を指すデータ情報性とも密接に関連しています。 ^{[10] [11]}

構造的識別可能性（の欠如）は、生理学的制御システムの動的補償の文脈でも重要です。これらのシステムは、特定のパラメータの変動にもかかわらず、正確な動的応答を保証する必要があります。^{[12] [13]}言い換えれば、システム識別の分野では識別不可能性は否定的な特性と見なされますが、動的補償の文脈では、識別不可能性は望ましい特性になります。^[13]

識別可能性は逆最適制御の文脈でも登場する。ここでは、データが目的関数のパラメータが不明な最適制御問題の解から得られたものであると仮定する。ここで識別可能性とは、測定データを使用して目的関数に存在するパラメータを推測する可能性を指す。^[14]

非線形システムを含むシステムの識別可能性を分析するために使用できるソフトウェアは数多く存在する。^[15]

• PottersWheel :構造的および実用的な識別可能性分析にプロファイル尤度を使用するMATLABツールボックス。
• STRIKE-GOLDD: 構造識別解析のためのMATLABツールボックス。^[16]
• StructuralIdentifiability.jl:構造パラメータの識別可能性を評価するためのJuliaライブラリ。^[17]
• LikelihoodProfiler.jl: 実用的な識別可能性分析のためのJuliaライブラリ。^[18]

• システム識別
• 可観測性
• モデル次数削減
• 適応制御