セット識別

統計学と計量経済学において、集合識別（または部分識別）は、統計モデルにおける識別可能性（または「点識別」）の概念を、モデルと観測可能な変数の分布がモデルパラメータの一意の値を決定するのに十分ではなく、パラメータがパラメータ空間の厳密なサブセット内に存在するように制約される環境に拡張する。集合識別（または部分識別）される統計モデルは、ゲーム理論やルビン因果モデルなど、経済学のさまざまな設定で発生する。モデルパラメータの点識別を実現するアプローチとは異なり、部分識別に関する文献の方法は、より弱いモデリング仮定の下で有効な集合推定値を取得するために使用される。^[1]

集合識別の主要なアイデアを盛り込んだ初期の研究には、Frisch (1934) や Marschak & Andrews (1944) などがあります。しかし、この手法はCharles Manskiによって大きく発展、推進され、Manski (1989) や Manski (1990) に始まります。

部分的識別は、引き続き計量経済学の研究における主要なテーマです。Powell (2017) は、部分的識別を計量経済学の文献における理論的進歩の例として挙げており、Bonhomme & Shaikh (2017) は、部分的識別を「計量経済学における最近の最も顕著なテーマの 1 つ」として挙げています。

を潜在変数のベクトル、を観測された（おそらく内生的な）説明変数のベクトル、を観測された内生的な結果変数のベクトルとします。構造はペアで、 は条件付き分布の集合を表し、 はランダムベクトルのすべての実現に対してとなる構造関数です。モデルは許容される（つまり可能な）構造の集合です。^{[2] [3]}${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}\subseteq \mathbb {R} ^{d_{u}}}$${\displaystyle Z\in {\mathcal {Z}}\subseteq \mathbb {R} ^{d_{z}}}$${\textstyle Y\in {\mathcal {Y}}\subseteq \mathbb {R} ^{d_{y}}}$${\displaystyle s=(h,{\mathcal {P}}_{U\mid Z})}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{U\mid Z}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h(y,z,u)=0}$${\displaystyle (y,z,u)}$${\displaystyle (Y,Z,U)}$${\displaystyle s}$

が構造 と一致する の条件付き分布の集合を表すものとします。 許容される構造と は、の場合に観測的に同等であるといわれます。^{[2] [3] が}真の（すなわちデータ生成）構造を表すものとします。 に対して が成り立つ場合、モデルは点同一視されているといいます。より一般的には、となる許容される が少なくとも 1 つ存在する場合、モデルは集合同一視されている（または部分的にが）といいます。同一視された構造の集合は、 と観測的に同等である許容される構造の集合です。^[4]${\displaystyle {\mathcal {P}}_{Y\mid Z}(s)}$${\displaystyle Y\mid Z}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{Y\mid Z}(s)={\mathcal {P}}_{Y\mid Z}(s')}$${\displaystyle s^{\star }}$${\displaystyle s\neq s'}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{Y\mid Z}(s)\neq {\mathcal {P}}_{Y\mid Z}(s^{\star })}$${\displaystyle s\neq s^{\star }}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{Y\mid Z}(s)\neq {\mathcal {P}}_{Y\mid Z}(s^{\star })}$${\displaystyle s^{\star }}$

ほとんどの場合、定義は大幅に簡略化できます。特に、が から独立しており、（有限次元パラメータまで）既知の分布を持つ場合、および が有限次元のパラメータベクトルまで既知の場合、各構造は有限次元パラメータベクトル によって特徴付けることができます。 が真の（つまり、データを生成する）パラメータベクトルを表す場合、識別されたセット（多くの場合 と表記）は、観測的に と同等なパラメータ値のセットです。^[4]${\displaystyle U}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle h}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \theta \in \Theta \subset \mathbb {R} ^{d_{\theta }}}$${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle \Theta _{I}\subset \Theta }$${\displaystyle \theta _{0}}$

この例は Tamer (2010) によるものです。2 つのバイナリ ランダム変数YとZがあるとします。計量経済学者は に関心があります。ただし、欠損データの問題があります。Yはの場合にのみ観測できます。 ${\displaystyle \mathrm {P} (Y=1)}$${\displaystyle Z=1}$

全確率の法則により、

${\displaystyle \mathrm {P} (Y=1)=\mathrm {P} (Y=1\mid Z=1)\mathrm {P} (Z=1)+\mathrm {P} (Y=1\mid Z=0)\mathrm {P} (Z=0).}$

唯一の未知のオブジェクトは であり、0と1の間に制約されています。したがって、識別されたセットは ${\displaystyle \mathrm {P} (Y=1\mid Z=0)}$

${\displaystyle \Theta _{I}=\{p\in [0,1]:p=\mathrm {P} (Y=1\mid Z=1)\mathrm {P} (Z=1)+q\mathrm {P} (Z=0),{\text{ for some }}q\in [0,1]\}.}$

欠損データ制約を考慮すると、計量経済学者は としか言えません。これは利用可能なすべての情報を利用します。 ${\displaystyle \mathrm {P} (Y=1)\in \Theta _{I}}$

集合推定では、点推定用に開発された通常の統計的推論ツールに頼ることはできません。統計学と計量経済学の文献では、集合識別モデルのコンテキストにおける統計的推論の手法を研究しており、適切な特性を持つ信頼区間または信頼領域の構築に重点を置いています。たとえば、Chernozhukov、Hong、Tamer (2007) によって開発された手法では、特定の確率で識別された集合をカバーする信頼領域を構築します。

• Bonhomme, Stephane; Shaikh, Azeem (2017). 「計量経済学における経済学の維持:政治経済ジャーナルにおける(ミクロ)計量経済学」.政治経済ジャーナル. 125 (6): 1846–1853. doi :10.1086/694620.
• Chernozhukov, Victor ; Hong, Han; Tamer, Elie (2007). 「計量モデルにおけるパラメータセットの推定と信頼領域」. Econometrica . 75 (5). The Econometric Society: 1243–1284. doi :10.1111/j.1468-0262.2007.00794.x. hdl : 1721.1/63545 . ISSN  0012-9682.
• Frisch, Ragnar (1934)。「完全回帰システムによる統計的合流分析」。オスロ経済大学研究所。
• マンスキー、チャールズ (1989) 。 「選択問題の分析」。人事ジャーナル。24 (3): 343–360。doi :10.2307/145818。JSTOR  145818。
• Manski, Charles (1990). 「治療効果のノンパラメトリック境界」アメリカ経済評論80 ( 2): 319–323. JSTOR  2006592.
• Marschak, Jacob; Andrews, Williams (1944). 「ランダム同時方程式と生産理論」. Econometrica . 12 (3/4). 計量経済学会: 143–205. doi :10.2307/1905432. JSTOR  1905432.
• パウエル、ジェームズ（ 2017）。「識別と漸近近似：計量経済理論の進歩の3つの例」。経済展望ジャーナル。31 （2）：107–124。doi ：10.1257 / jep.31.2.107。
• Lewbel, Arthur (2019-12-01). 「識別動物園：計量経済学における識別の意味」。 経済文献ジャーナル。57 (4)。アメリカ経済学会：835–903。doi :10.1257/ jel.20181361。ISSN 0022-0515。S2CID 125792293  。
• テイマー、エリー（2010）。「計量経済学における部分的識別」。Annual Review of Economics。2（1）：167–195。doi ： 10.1146 /annurev.economics.050708.143401。

• Ho, Kate ; Rosen, Adam M. (2017)。「応用研究における部分的識別：利点と課題」（PDF）。Honore , Bo、Pakes, Ariel、Piazzesi, Monika、Samuelson, Larry（編）。経済学と計量経済学の進歩（PDF）。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。pp. 307–359。doi ：10.1017 / 9781108227223.010。ISBN 978-1-108-22722-3。
• Manski, Charles F. ; Pepper, John V. (2000 年7 月)。「単調な操作変数: 学校教育の収益への応用」(PDF)。Econometrica。68 ( 4 ) : 997–1010。doi : 10.1111 / 1468-0262.00144。ISSN 0012-9682。JSTOR  2999533  。
• Manski, Charles F. (2003).確率分布の部分的同定. ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-00454-9。