ホームズ・トンプソン巻

ノルム空間の幾何学において、ホームズ・トンプソン体積は、異なるノルム空間（同じ次元）に含まれる集合を比較することを可能にする体積の概念である。これはレイモンド・D・ホームズとアンソニー・チャールズ・トンプソンによって導入された。^{[ 1 ]}

ホームズ・トンプソン巻${\displaystyle \operatorname {Vol} _{\text{HT}}(A)}$測定可能な集合の${\displaystyle A\subseteq R^{n}}$規範空間において${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\|-\|)}$は、積集合の2 n次元尺度として定義される。${\displaystyle A\times B^{*},}$どこ$\displaystyle B^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$は、${\displaystyle \|-\|}$（双対ノルムの単位球）${\displaystyle \|-\|^{*}}$)

ホームズ・トンプソン体積は座標なしで定義できます。${\displaystyle A\subseteq V}$n次元実ノルム空間における可測集合である${\displaystyle (V,\|-\|),}$すると、そのホームズ・トンプソン体積は、体積形式の積分の絶対値として定義される。${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\overbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } ^{n}}$セットを越えて${\displaystyle A\times B^{*}}$、

${\displaystyle \operatorname {Vol} _{HT}(A)=\left|\int _{A\times B^{*}}{\frac {1}{n!}}\omega ^{n}\right|}$

どこ${\displaystyle \omega }$はベクトル空間上の標準シンプレクティック形式である。$\displaystyle V\times V^{*}}$そして${\displaystyle B^{*}\subseteq V^{*}}$は、${\displaystyle \|-\|}$。

この定義は前の定義と一致しています。なぜなら、各点が${\displaystyle x\in V}$線形座標が与えられている${\displaystyle (x_{i})_{0\leq i<n}}$および各コベクター$\displaystyle \xi \in V^{*}}$双対座標が与えられる${\displaystyle (xi_{i})_{0\leq i<n}}$（となることによって${\displaystyle \xi (x)=\sum _{i}\xi _{i}x_{i}}$) の場合、標準シンプレクティック形式は次のようになります。${\displaystyle \omega =\sum _{i}\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} \xi _{i}}$、そしてボリューム形式は

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\omega ^{n}=\pm \;\mathrm {d} x_{0}\wedge \dots \wedge \mathrm {d} x_{n-1}\wedge \mathrm {d} \xi _{0}\wedge \dots \wedge \mathrm {d} \xi _{n-1},}$

集合上の積分${\displaystyle A\times B^{*}\subseteq V\times V^{*}\cong \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$これは座標空間における集合の通常の体積です$\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$。

より一般的に言えば、可測集合のホームズ・トンプソン体積${\displaystyle A}$フィンズラー多様体において${\displaystyle (M,F)}$定義できる

${\displaystyle \operatorname {Vol} _{\text{HT}}(A):=\int _{B^{*}A}{\frac {1}{n!}}\omega ^{n},}$

どこ${\displaystyle B^{*}A=\{(x,\xi )\in \mathrm {T} ^{*}M:\ x\in A{\text{ かつ }}\xi \in \mathrm {T} _{x}^{*}M{\text{ かつ }}\|\xi \|_{x}^{*}\leq 1\}}$そして${\displaystyle \omega }$は余接束上の標準シンプレクティック形式である。${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$ホルムズ・トンプソンの体積の定義は、リウヴィルの定理によれば、測地線の流れが余接束内の集合のシンプレクティック体積を保存するため、多様体の総体積とそれに含まれる測地線（最短曲線）の長さ（収縮不等式^{[ 2 ] [ 3 ]}や充填体積^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}など）との間の関係を確立するのに適しています。

もし${\displaystyle A}$はフィンズラー多様体内の単純領域です（つまり、凸境界を持ち、 に沿って一意の測地線を持つ球と同相な領域です）。${\displaystyle A}$各点のペアを結び付けて${\displaystyle A}$) の場合、そのホームズ・トンプソン体積は経路長距離 (に沿って) で計算できます。${\displaystyle A}$境界点間の${\displaystyle A}$サンタロの公式を用いると、余接束上の測地線流がハミルトン的であるという事実に基づいている。 ^{[ 9 ]}

原著者らは^{[ 1 ]}ホームズ・トンプソン体積に対して異なる正規化法を用いた。彼らはここで与えられた値をユークリッドn次元球の体積で割ることで、ホームズ・トンプソン体積を標準ユークリッド空間における積測度と一致させた。${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\|-\|_{2})}$この記事はその慣例に従っていません。

ノルム空間（またはフィンズラー多様体）におけるホームズ・トンプソン体積が正規化されている場合、それはハウスドルフ測度を超えることはありません。これはブラシュケ・サンタロの不等式の結果です。この等式は、空間がユークリッド空間（またはリーマン多様体）である場合に限り成立します。

アルバレス＝パイバ、フアン＝カルロス；トンプソン、アンソニー C. (2004). 「第 1 章：ノルム空間とフィンズラー空間に関する巻」（PDF） . Bao、David；Bryant、Robert L.；Chern、Shiing-Shen；Shen、Zhongmin (編)『リーマン＝フィンズラー幾何学の概説』 . MSRI Publications. Vol.  50. Cambridge University Press. pp. 1–48 . ISBN  0-521-83181-4MR 2132656 .​