ヒルベルトの第六問題

ヒルベルトの6番目の問題は、数学が広く使われている物理学の分野を公理化することである。これは、 1900年にヒルベルトが提示した数学の問題として広く引用されているリストに載っている。^[1]一般的な英語訳では、明確な記述は次のようになっている。

6. 物理学の公理の数学的処理。幾何学の基礎に関する研究は、次のような問題を示唆している。すなわち、今日すでに数学が重要な役割を果たしている物理科学、特に確率論と力学理論を、公理を用いて同じように扱うことである。

ヒルベルトはこの問題とその可能な具体的な形態についてさらに説明しました。

「確率論の公理に関しては、その論理的研究が、数理物理学、特に気体の運動理論における平均値法の厳密かつ満足のいく発展を伴うことが望ましいように思われる。…ボルツマンの力学原理に関する研究は、原子論的見解から連続体の運動の法則に至る、単に示された限界過程を数学的に発展させる問題を示唆している。」

デイヴィト・ヒルベルト自身も第六の問題に多くの研究を費やしました。^[3] 特に、彼はこの問題を提起した後に生じた物理学の分野で研究を行いました。

1910年代には天体力学は一般相対性理論へと発展した。ヒルベルトとエミー・ネーターは理論の定式化についてアルベルト・アインシュタイン と頻繁に文通した。 ^[4]

1920年代には、ミクロなシステムの力学が量子力学へと発展した。ヒルベルトは、ジョン・フォン・ノイマン、L・ノルドハイム、EP・ウィグナーの協力を得て、量子力学の公理的基礎に取り組んだ（ヒルベルト空間を参照）。^[5] 同時に、しかし独立して、ディラックは、ヘルマン・ワイルがエルヴィン・シュレーディンガーの協力を得て行ったように、公理系に近い形で量子力学を定式化した。

1930 年代に、アンドレイ・コルモゴロフは測度論を用いて確率論を公理的基盤の上に置きました。

1960 年代以降、アーサー・ワイトマンとルドルフ・ハーグの研究に続いて、現代の量子場理論も公理的な記述に近いと考えられるようになりました。

1990年代から2000年代にかけて、「原子論的視点から連続体の運動の法則に至る、単に示された限界過程」の問題は、多くの数学者グループによって取り組まれました。最近の主な結果は、Laure Saint-Raymond、^[6] Marshall Slemrod、^[7] Alexander N. Gorban、Ilya Karlinによってまとめられています。^[8]

ヒルベルトの第六の問題は、公理的方法を既存の数学の分野を超えて物理学やそれを超えた分野に拡張するという提案であった。この拡張には、物理​​的現実の概念の形式的な分析を伴う物理学の意味論の発展が必要である。 ^[9]物理学の基本的な現象の大部分は、2つの基本理論によって捉えられている。

• 量子場理論[ ^10]は標準モデルの数学的枠組みを提供する。
• 一般相対性理論は、マクロスケールでの時空と重力を記述します。

ヒルベルトは、一般相対性理論を物理学の基礎の重要な部分とみなした。^{[11] [12]}しかし、量子場理論は一般相対性理論と論理的に整合しておらず、物理学の意味論が中心的な役割を果たすことが期待される、まだ知られていない量子重力理論が必要であることを示している。したがって、ヒルベルトの第6の問題は未解決のままである。^[13]それにもかかわらず、近年、論理の役割と言語の正確さに特に重点を置いた物理学の基礎に関する研究が促進され、いくつかの興味深い結果、すなわち、コーシーの「微分」の定義からの不確定性原理の直接的な実現、公理的観点からの量子重力理論の道における意味論的障害の解明、^[14]同値原理の量子テストにおける論理的トートロジーの解明^{[15]および最初のマクスウェル方程式の形式的証明不可能性[16]} につながった。

• ワイトマン公理
• 構成的量子場理論

• ザウアー、ティルマン (1999)。「発見の相対性: 物理学の基礎に関するヒルベルトの最初のメモ」。Arch . Hist. Exact Sci . 53 (6): 529–575。arXiv : physics /9811050。Bibcode : 1998physics..11050S。Zbl 0926.01004  。
• Wightman, AS (1976)。「ヒルベルトの第 6 の問題: 物理学の公理の数学的処理」。Felix E. Browder (編)。ヒルベルトの問題から生じる数学的発展。純粋数学シンポジウムの議事録。第 XXVIII 巻。アメリカ数学会。pp. 147–240。ISBN 0-8218-1428-1。

• デイヴィッド・ヒルベルト『数学の問題』第 6 問の英訳。