楕円曲線に関するハッセの定理

楕円曲線に関するハッセの定理はハッセ境界とも呼ばれ、有限体上の楕円曲線上の点の数を推定し、その上と下の値を制限します。

Nをq個の元を持つ有限体上の 楕円曲線E上の点の数とすると、ハッセの結果は次のように表される。

${\displaystyle |N-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}.}$

その理由は、Nが同じ体上の射影直線の点の数q + 1と、それぞれ絶対値を持つ2つの複素数の合計である「誤差項」だけ異なるためです。${\displaystyle {\sqrt {q}}.}$

この結果はもともとエミール・アルティンの論文で推測されていた。 ^[1] これは1933年にハッセによって証明され、その証明は1936年に一連の論文として発表された。^[2]

ハッセの定理は、 Eの局所ゼータ関数の根の絶対値を決定することと同等です。この形式では、楕円曲線に関連付けられた 関数体に対するリーマン予想の類似物と見ることができます。

ハッセ境界を高種数の 代数曲線に一般化したもの、それがハッセ・ヴェイユ境界である。これは有限体上の曲線上の点の数の境界を与える。位数qの有限体上の種数gの曲線C上の点の数が であれば、 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle \#C(\mathbb {F} _{q})}$

${\displaystyle |\#C(\mathbb {F} _{q})-(q+1)|\leq 2g{\sqrt {q}}.}$

この結果は、 Cの局所ゼータ関数の根の絶対値を決定することと同等であり、曲線に関連付けられた 関数体に対するリーマン予想の類似物です。

ハッセ・ヴェイユ境界は、種数g=1の楕円曲線に適用すると、通常のハッセ境界に簡約されます。

ハッセ・ヴェイユ境界は、 1949年にアンドレ・ヴェイユによって最初に提案され、曲線の場合にアンドレ・ヴェイユによって証明されたヴェイユ予想の結果である。 ^[3]

• 佐藤・テイト予想
• シューフのアルゴリズム
• ワイルの境界

• ハート、ノーマン E. (2003)、Many Rational Points. Coding Theory and Algebraic Geometry、Mathematics and its Applications、vol. 564、ドルドレヒト：Kluwer / Springer-Verlag、ISBN 1-4020-1766-9、MR  2042828
• ニーダーライター、ハラルド、シン、チャオピン（2009）、符号理論と暗号における代数幾何学、プリンストン：プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-6911-0288-7、MR  2573098
• Silverman, Joseph H. (1994) 「楕円曲線の算術」第 5 章、Graduate Texts in Mathematics、第 106 巻、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-96203-0、MR  1329092
• ワシントン、ローレンス C. (2008)、楕円曲線、数論と暗号、第 2 版、離散数学とその応用、ボカラトン:チャップマン & ホール/ CRC プレス、ISBN 978-1-4200-7146-7、MR  2404461