アダマールの不等式

数学において、アダマールの不等式（行列式に関するアダマールの定理^[1]としても知られる）は、 1893 年にジャック・アダマールが初めて発表した成果である。 ^[2]これは、複素数を要素とする行列の行列式の、列ベクトルの長さに関する上界である。幾何学的には、実数に制限した場合、1 ≤ i ≤ nとなるn個のベクトルv _iによって囲まれるn次元ユークリッド空間の体積を、これらのベクトル || v _i ||の長さで上界する 。

具体的には、アダマールの不等式は、Nが列^[3] v _{i を}持つ行列である場合、

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|.}$

nベクトルがゼロでない場合、ベクトルが直交している場合にのみ、アダマールの不等式における等式が達成されます。

系として、n行n列の行列Nの要素がBで囲まれている場合、すべてのiとjに対して| N _ij  | ≤ Bとなるので、

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq B^{n}n^{n/2}.}$

特に、Nの要素が+1と-1のみの場合、 ^[4]

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq n^{n/2}.}$

組合せ論では、等式が成り立つ行列N、つまり直交する列を持つ行列 N をアダマール行列と呼びます。

より一般的には、 Nがn 次複素行列で、その要素が1 からnまでの 各i、jに対して | N _ij | ≤ 1で制限されるとする。このとき、アダマールの不等式は次のように表される。

${\displaystyle |\operatorname {det} (N)|\leq n^{n/2}.}$

この境界における等式は、 N がアダマール行列である 場合にのみ、実行列Nに対して達成されます。

半正定値行列 PはN ^* Nと表記される。ここでN ^{* は}Nの共役転置を表す（半正定値行列の分解を参照）。

${\displaystyle \det(P)=\det(N)^{2}\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|^{2}=\prod _{i=1}^{n}p_{ii}.}$

したがって、正定値行列の行列式は、その対角要素の積以下になります。これはアダマールの不等式とも呼ばれます。^{[2] [5]}

行列Nが特異行列であれば結果は自明なので、 Nの列は線形独立であると仮定する。各列をその長さで割ると、結果は各列の長さが1である特別な場合と同等であることがわかる。言い換えれば、e _iが単位ベクトルで、Mがe _{i を}列として 持つ行列である場合、

そして、ベクトルが直交集合である場合にのみ等式が達成されます。一般的な結果は次のようになります。

${\displaystyle \left|\det N\right|={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|{\bigg )}\left|\det M\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|.}$

(1)を証明する には、P = M ^* Mを考えます。ここでM ^{* は}Mの共役転置であり、Pの固有値は λ ₁、 λ ₂、 … λ _nです。 Mの各列の長さは1 なので、 Pの対角線の各要素は1 であり、したがってPのトレースはnです。算術平均と幾何平均の不等式を適用すると、

${\displaystyle \det P=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}\leq {\bigg (}{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\bigg )}^{n}=\left({1 \over n}\operatorname {tr} P\right)^{n}=1^{n}=1,}$

それで

${\displaystyle \left|\det M\right|={\sqrt {\det P}}\leq 1.}$

等式が存在する場合、各λ _iはすべて等しく、それらの合計はnなので、すべて 1 でなければなりません。行列Pはエルミートであるため対角化可能であり、単位行列です。つまり、 Mの列は正規直交集合であり、 Nの列は直交集合です。^[6]文献には他の多くの証明が記載されています。

• フィッシャーの不等式

• マズヤ、ウラジミール; シャポシュニコワ、TO (1999)。ジャック・アダマール: 普遍的な数学者。AMS。pp. 383ff。ISBN 0-8218-1923-2。
• ガーリング、DJH (2007)。不等式：線型解析への旅。ケンブリッジ。p. 233。ISBN 978-0-521-69973-0。
• リース、フリジェス。シュケファルヴィ=ナジ、ベーラ (1990)。機能分析。ドーバー。 p. 176.ISBN​ 0-486-66289-6。
• Weisstein, Eric W.「アダマールの不等式」。MathWorld。

• Beckenbach, Edwin F; Bellman, Richard Ernest (1965). Inequality . Springer. p. 64.